Bestimmen Sie die folgenden Grenzwerte mit Hilfe des Sandwich Kriteriums

Question

Hallo, wie löse ich folgendes Beispiel?

Bestimmen Sie die folgenden Grenzwerte mit Hilfe des Sandwich Kriteriums:

$$\lim\limits_{n\to\infty}\frac{n-cos(n^{2})}{4n};$$

Wäre super, wenn das jemand Schritt für Schritt hier erklären könnte damit ich es verstehe. Danke!

Answer 1

\(\lim\limits_{n\to\infty}\frac{n-cos(n^{2})}{4n};\)

Es gilt immer \(  -1  \le cos(n^{2}) \le 1 \)

==>   \(  \frac{n-1}{4n}  \le \frac{n-cos(n^{2})}{4n} \le \frac{n+1}{4n} \)

Rechte und linke Seite haben beide Grenzwert 1/4, Mitte also auch.

Comments

Danke und wie geht das bei einer Wurzel? Ist dann -1 <= Wurzelinhalt <= 1?

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Wurzel aus wem ?

Wenn die Wurzel über dem ganzen Bruch steht

und der Bruch selbst gegen 1/4 geht, dann die

Wurzel gegen 1/2.

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Na ja zum Beispiel für eine solche Aufgabe, bei Brüchen ist es mir jetzt klar, gut erklärt, aber da kenne ich mich noch nicht so richtig aus: $$\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{5^{n+1}-2^{2n}};$$

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Besser erst mal was umformen:

\(   \sqrt[n]{5^{n+1}-2^{2n}} =  \sqrt[n]{5\cdot5^{n}-4^{n}}  = 5\cdot \sqrt[n]{5-(\frac{4}{5})^{n}}  \)

(4/5)^n geht gegen 0 also bleibt n-te Wurzel aus 5, das geht

gegen 1 und der gesamte Grenzwert ist 5.

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Du hast ja oben was mit -1 <= cos(n²) <= 1, aber wie wende ich das hier an?

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Bei der Wurzel kommt doch gar kein cos vor.

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Ja das weiß ich, aber so in der Art meinte ich