Fläche, die vom Graphen der Funktion und der x-Achse eingeschlossen wird

Question

Aufgabe:

Fläche die vom Graphen der Funktion und der x Achse eingeschlossen wird

die Aufgabe ist -(x-1)²+3

Problem/Ansatz:

bei den Nullstellen kommen Kommazahlen raus ich kann so das Integral nicht rechnen

Comments

bei den Nullstellen kommen Kommazahlen raus ich kann so das Integral nicht rechnen

Das kann man doch, wo ist das Problem?

Was für Kommazahlen hast Du?

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-0,7320508076

und 2,732050808

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Das ist nicht verkehrt, die Nullstellen sind ja bei 1 ± $\sqrt{3}$

Du kannst die Kommazahl oder den exakten Wert als Integrationsgrenzen verwenden.

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Oder auch so: $\displaystyle\int_{1-\sqrt3}^{1+\sqrt3}\big(3-(x-1)^2\big)\,\mathrm dx=2\int_0^{\sqrt3}\big(3-x^2\big)\,\mathrm dx=4\sqrt3$.

Answer 1

f(x) = - (x - 1)² + 3 = - (x² - 2·x + 1) + 3 = - x² + 2·x - 1 + 3 = - x² + 2·x + 2

Nullstellen

f(x) = - (x - 1)² + 3 = 0
(x - 1)² = 3
x - 1 = ± √3
x = 1 ± √3

Stammfunktion

f(x) = - x² + 2·x + 2
F(x) = - 1/3·x³ + x² + 2·x

Integral

F(1 + √3) - F(1 - √3) = (- 1/3·(1 + √3)³ + (1 + √3)² + 2·(1 + √3)) - (- 1/3·(1 - √3)³ + (1 - √3)² + 2·(1 - √3)) = 4·√3

Bei meinem Taschenrechner kann ich das zum Glück so direkt eingeben und er gibt mir ein schönes Endergebnis heraus. Aber natürlich könnte man das auch von Hand umformen.