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Aufgabe:

Berechne den Inhalt der Fläche der vom Graphen der Funktion f und der x Achse eingeschlossen wird!

f(x)=(x^2-1)(x-4)


Problem/Ansatz:

Was habe ich da falsch gemacht?

Ich habe ausgerechnet, die Nullstellen sind bei mir -1;4

bei mir kommt -125/12 raus ist aber falsch sollte 71/6 rauskommen.

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Hast du die Funktion richtig abgetippt?

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Was habe ich da falsch gemacht?

Da Du nicht mitteilst, wie Du gerechnet hast, kann Dir auch niemand sagen, was Du falsch gemacht hast.

2 Antworten

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Achtung du hast drei Nullstellen !

f(x) = (x^2 - 1)·(x - 4) = 0 --> x = -1 ∨ x = 1 ∨ x = 4

F(x) = 1/4·x^4 - 4/3·x^3 - 1/2·x^2 + 4·x

Achtung du darfst nicht über 1 hinweg integrieren.

A1 = ∫ (-1 bis 1) f(x) dx = 16/3

A2 = ∫ (1 bis 4) f(x) dx = - 63/4

A = 16/3 + 63/4 = 253/12 = 21.08

Die Musterlösung ist verkehrt. Es sollten also ca. 21.08 FE herauskommen.

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Aloha :)

Wenn der Graph eines Funktionsterms oberhalb der \(x\)-Achse verläuft, ist das Integral positiv, verläuft der Graph unterhalb der \(x\)-Achse, ist das Integral negativ. Daher musst du zur Berechnung der Fläche \(A\) zwischen dem Graphen und der \(x\)-Achse von einer Nullstelle zur nächsten integrieren und die Beträge der Integrale addieren.

Die Nullstellen von$$f(x)=(x^2-1)(x-4)=(x+1)(x-1)(x-4)$$sind \(x=-1\), \(x=1\) und \(x=4\). Eine Stammfunktion zu lautet:$$F(x)=\int(x^2-1)(x-4)\,dx=\int(x^3-x-4x^2+4)\,dx=\frac{x^4}{4}-\frac{x^2}{2}-\frac43x^3+4x$$

Zur Bestimmung der gesuchten Fläche integrieren wir nun von Nullstelle zu Nullstelle:$$A=\left|\int\limits_{-1}^1f(x)\,dx\right|+\left|\int\limits_1^4f(x)\,dx\right|=\left|F(1)-F(-1)\right|+\left|F(4)-F(1)\right|$$$$\phantom{A}=\left|\frac{29}{12}-\left(-\frac{35}{12}\right)\right|+\left|-\frac{40}{3}-\frac{29}{12}\right|=\frac{64}{12}+\frac{189}{12}=\frac{253}{12}=21,08\overline3$$

Die Musterlösung deines Leerers ist falsch.

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