Aloha :)
Die folgende Funktion soll um die \(y\)-Achse rotiert werden:$$f(x)=\sin(x)\quad;\quad x\in[x_1|x_2]=[0|\pi]$$Um uns ein Bild des dabei entstehenden Volumens \(V_y\) zu machen, betrachten wir:
~plot~ sin(x)*(x>=0)*(x<=pi) ; 0,5*(x>=0)*(x<=pi) ; x=pi/2 ; {0,524|0,5} ; {pi-0,524|0,5} ; [[0|3,5|0|1,1]] ~plot~
Wir können das Volumen \(V_y\) mittels 2 Integralen bestimmen:$$V_y=\int\limits_{y(\pi/2)}^{y(\pi)}\pi x^2\,dy-\int\limits_{y(0)}^{y(\pi/2)}\pi x^2\,dy$$Wir teilen die Funktion also an der grünen Symmetrieachse bei \(x=\frac\pi2\) auf, bestimmen das Rotationsvolumen des rechtsgelegenen Teils und subtrahieren davon das Rotationsvolumen des linksgegelegenen Teils.
Da wir nicht mit der Umkehrfunktion rechnen möchten, substituieren wir:$$V_y=\int\limits_{\pi/2}^{\pi}\pi x^2\left|\frac{dy}{dx}\right|\,dx-\int\limits_{0}^{\pi/2}\pi x^2\left|\frac{dy}{dx}\right|\,dx=\int\limits_{\pi/2}^{\pi}\pi x^2\left|\cos(x)\right|\,dx-\int\limits_{0}^{\pi/2}\pi x^2\left|\cos(x)\right|\,dx$$$$\phantom{V_y}=-\int\limits_{\pi/2}^{\pi}\pi x^2\cos(x)\,dx-\int\limits_{0}^{\pi/2}\pi x^2\cos(x)\,dx=-\int\limits_0^\pi\pi x^2\cos(x)\,dx=2\pi^2$$
Das Integral kannst du mit doppelter partieller Integration bestimmen. Da ich dir die Freude daran nicht nehmen möchte, habe ich nur das Endergebnis \(2\pi^2\) angegeben.
