nichtnegativereelle Zahlen/Es seien m ∈ N und p1, . . . pm nichtnegative reelle Zahlen

Question

Aufgabe:Nichtnegative reelle zahlen

Es seien m ∈ N und p₁, . . . p_m nichtnegative reelle Zahlen mit  ∑^m_i=1 p₁ = 1.

Zeigen Sie:

(1)     ∑^m_i=1 p_i² = 1/m+∑^m_i=1 (p_i−1/m)²

(2)  ∑_i=1^mp_i² ist nie kleiner als 1/m . Wann liegt Gleichheit vor?

Answer 1

Am besten von rechts nach links:

$\frac{1}{m} + \sum \limits_{i=1}^m (p_i - \frac{1}{m} )^2$

$= \frac{1}{m} + \sum \limits_{i=1}^m (p_i^2 -2p_i \frac{1}{m} + (\frac{1}{m} )^2 )$

$= \frac{1}{m} + \sum \limits_{i=1}^m p_i^2 -2 \sum \limits_{i=1}^mp_i \frac{1}{m} + \sum \limits_{i=1}^m (\frac{1}{m} )^2$

$= \frac{1}{m} + \sum \limits_{i=1}^m p_i^2 -\frac{2}{m} \sum \limits_{i=1}^mp_i + m \cdot (\frac{1}{m} )^2$

Die Summe der pi ist gleich 1, also

$= \frac{1}{m} + \sum \limits_{i=1}^m p_i^2 -\frac{2}{m} +\frac{1}{m} = \sum \limits_{i=1}^m p_i^2$  q.e.d.