Aloha :)
$$L=\left\|\vec y-\mathbf A\cdot\vec x\right\|-c\sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{{j=1}\atop{i\ne j}}^n x_i\cdot x_j$$$$L=\sqrt{\left(\vec y-\mathbf A\cdot\vec x\right)^T\cdot\left(\vec y-\mathbf A\cdot\vec x\right)}-2c\sum\limits_{{i=1}}^{n-1}\sum\limits_{j=i+1}^n x_i\cdot x_j$$$$L=\sqrt{\vec y^T\cdot\vec y-(\mathbf A\vec x)^T\vec y-\vec y^T(\mathbf A\vec x)+(\mathbf A\vec x)^T(\mathbf A\vec x)}-2c\sum\limits_{{i=1}}^{n-1}x_i\sum\limits_{j=i+1}^n x_j$$$$L=\sqrt{\left\|\vec y\right\|^2-\vec x^T(\mathbf A^T\vec y)-(\vec y^T\mathbf A)\vec x+\vec x^T(\mathbf A^T\mathbf A)\vec x}-2c\sum\limits_{{i=1}}^{n-1}x_i\sum\limits_{j=i+1}^nx_j$$$$L=\sqrt{\left\|\vec y\right\|^2-\sum\limits_{i=1}^nx_i(\mathbf A^T\vec y)_i-\sum\limits_{i=1}^n(\vec y^T\mathbf A)_ix_i+\sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{j=1}^nx_i(\mathbf A^T\mathbf A)_{ij}x_j}-2c\sum\limits_{{i=1}}^{n-1}x_i\sum\limits_{j=i+1}^nx_j$$
Jetzt leiten wir die Wurzel partiell nach \(x_1\) mit der Kettenregel ab und achten besonders auf die innere Ableitung. Der Term hinter der Wurzel ist kein Problem.$$\frac{\partial L}{\partial x_1}=\frac{-(\mathbf A^T\vec y)_1-(\vec y^T\mathbf A)_1+\sum\limits_{j=1}^n(\mathbf A^T\mathbf A)_{1j}x_j+\sum\limits_{i=1}^nx_i(\mathbf A^T\mathbf A)_{i1}}{2\sqrt{\cdots}}-2c\sum\limits_{j=2}^nx_j$$
Da die Matrix \((\mathbf A^T\mathbf A)\) symmetrisch ist, können wir zusammenfassen:$$\frac{\partial L}{\partial x_1}=\frac{-2(\mathbf A^T\vec y)_1+2\sum\limits_{j=1}^n(\mathbf A^T\mathbf A)_{1j}x_j}{2\sqrt{\cdots}}-2c\sum\limits_{j=2}^nx_j$$$$\frac{\partial L}{\partial x_1}=\frac{-(\mathbf A^T\vec y)_1+((\mathbf A^T\mathbf A)\vec x)_1}{\sqrt{\cdots}}-2c\sum\limits_{j=2}^nx_j$$$$\frac{\partial L}{\partial x_1}=\frac{\left(\mathbf A^T\mathbf A\vec x-\mathbf A^T\vec y\right)_1}{\left\|\vec y-\mathbf A\cdot\vec x\right\|}-2c\left(\sum\limits_{j=1}^nx_j-x_1\right)$$
Ich habe das Ergebnis noch symmetrisch aufgeschrieben, damit sofort klar ist, wie die partielle Ableitung nach den anderen Komponenten aussieht.
