Durchnittliche Anzahl an Zügen bis man eine rote Kugel aus der Urne zieht?

Question

Aufgabe: Eine Urne enthält eine weisse, zwei schwarze und drei rote Kugeln. Es werden Kugeln ohne Zurücklegen und ohne Beachtung der Reihenfolge herausgenommen.

Man zieht nun so lange eine Kugel aus der Urne, bis man eine rote Kugel erhält. Wie lange muss man durchschnittlich in die Urne greifen?

Ich glaube, die Aufgabe wäre mit dem Erwartungswert irgendwie lösbar?

Vielen Dank im Voraus.

Answer 1

Aloha :)

Urne enthält: 1 weiße, 2 schwarze und 3 rote Kugeln. Ziehen ohne Zurücklegen.

W für erste rote Kugel im 1-ten Zug:\(\quad p(1)=\frac{3}{6}=\frac12\)

W für erste rote Kugel im 2-ten Zug:\(\quad p(2)=(1-p(1))\cdot\frac{3}{5}=\frac{3}{10}\)

W für erste rote Kugel im 3-ten Zug:\(\quad p(3)=(1-p(1)-p(2))\cdot\frac{3}{4}=\frac{3}{20}\)

W für erste rote Kugel im 4-ten Zug:\(\quad p(4)=(1-p(1)-p(2)-p(3))\cdot\frac{3}{3}=\frac{1}{20}\)

Der Erwartungswert für die Anzahl der Ziehungen bis zur 1-ten roten Kugel beträgt daher:$$\mu=\frac12\cdot1+\frac{3}{10}\cdot2+\frac{3}{20}\cdot3+\frac{1}{20}\cdot4=\frac74=1,75$$