Integral Inhalt der Fläche berechnen. Muss man die Nullstelle berechnen?

Question

Aufgabe:

Berechnen Sie den Inhalt der Fläche, die vom Graphen der Funktion f(x) und der x-Achse ganz umschlossen wird!

a) f(x) = x² - 9

b) f(x) = -x⁴ + 5x² + 36

Problem/Ansatz:

Muss ich jetzt die Nullstelle für den integral berechnen?

Was mache ich, wenn es mehr als 2 Nullstellen gibt? Die b) habe ich auch nicht ganz verstanden.

Danke um voraus.

Answer 1

"Muss ich jetzt die Nullstelle für das Integral berechnen?"
a) \(f(x) = x² - 9\)

Ja, das ist notwendig.

Comments

Okay danke und was mache ich, wenn es mehr als 2 Nullstellen gibt?

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Dann musst du mehrere Integrale aufstellen. Du integrierst dabei immer von einer Nullstelle bis zur nächsten.

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b) \(f(x) = -x^{4}+ 5x² + 36\)

Auch hier musst du die Nullstellen ausrechnen.

\( -x^{4}+ 5x² + 36=0\)

\( -x^{4}+ 5x² =-36\)

\( x^{4}- 5x² =36\)

\(( x^{2}- 2,5)^2 =36+6,25=42,25 |\sqrt{}\)

1.)\(x^{2}- 2,5=6,5\)

\(x^{2}=9 |\sqrt{}\)

\(x₁=3\)

\(x₂=-3\)

2.)\(x^{2}- 2,5=-6,5\)

Hier gibt es keine Lösungen in ℝ.

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Vielen Dank für deine Hilfe

weißt du, wie man das bei dieser Funktion löst?

f(x)=x³ -4x²

ich weiß allgemein nicht wie ich die Nullstelle bei einer quadratischen Funktion oder linearen Funktion berechne, wenn das x hoch 3 ist

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\(f(x)=x^{3} -4*x^{2}\)

\(x^{3} -4*x^{2}=0\)

\(x^{2}*(x -4)=0\)

1.)\(x^{2}=0|\sqrt{}\)

doppelte Nullstelle bei \(x=0\) →Extremwert

2.)\((x -4)=0\)

einfache Nullstelle bei \(x=4\)

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Hier wurde der Satz vom Nullprodukt verwendet. Der ist sehr nützlich. Solltest du dich mal mit beschäftigen.

Answer 2

Am Besten du plottest dir die Funktion aus.
Parabeln a.) können keine, eine oder 2 Nullstellen
haben.
Die Integrationsfläche kann nur berechnet werden
falls 2 Nullstellen vorhanden sind.

Answer 3

b)

f(x) = -x⁴ + 5x² + 36 = 0 --> x = -3 ∨ x = 3

Die Funktion ist achsensymmetrisch bezüglich der y-Achse.

F(x) = - 1/5·x⁵ + 5/3·x³ + 36·x

A = 2·∫(0 bis 3) (- x⁴ + 5·x² + 36) dx = 2·F(3) = 208.8 FE

Skizze

~plot~ -x^4+5x^2+36;[[-4|4|-10|50]] ~plot~

Comments

Danke.

Wie hast du eigentlich die Nullstelle berechnet?

Und wie berechne ich die Nullstelle bei dieser Funktion

f(x)=x3 -4x2

ich weiß allgemein nicht wie ich die Nullstelle bei einer quadratischen Funktion oder linearen Funktion berechne, wenn das x hoch 3 ist

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f ( x ) = x³ - 4*x²
Nullstelle
x³ - 4 * x² = 0
x² ausklammern
x² * ( x - 4 ) = 0
Satz vom Nullprodukt anwenden
x² = 0
x = 0
und
x - 4 = 0
x = 4

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Das oben ist eine biquadratische Gleichung

-x⁴ + 5x² + 36 = 0

Die kann man über Substitution z = x² lösen.

-z² + 5z + 36 = 0 --> z = 9 ∨ z = -4

wenn x² also 9 ist dann ist x = ±3

x³ - 4x² = 0 

kannst du über ausklammern und dem Satz vom Nullprodukt lösen

x² * (x - 4) = 0

Also doppelte Nullstelle bei x = 0 und einfache bei x = 4.

Das hat Moliets oben aber eigentlich schon vorgemacht gehabt. Hast du den Post gesehen?