Sei K ein beliebiger Körper, n ∈ N sowie V, W zwei endlich dimensionale Verträume über ¨ K

Question

Aufgabe:

Sei K ein beliebiger Körper, n ∈ N sowie V, W zwei
endlich dimensionale Verträume über ¨ K.
(1) Seien A, B ∈ Matn×n(K). Beweisen Sie, dass tr(AB) = tr(BA) gilt.
(2) Seien f : V → W und g : W → V lineare Abbildungen. Zeigen Sie, falls
dim(V ) = dim(W) ist, dann gilt tr(gf) = tr(fg).
(3) Bleibt die Aussage (2) richtig, wenn dim(V ) 6= dim(W)?

Problem/Ansatz:

Ich komm hier leider Null voran. Könnte mir jemand weiter helfen

Comments

weißt du oder jemand anders wie denn (2) und (3) geht ?

Answer 1

Wenn du dir die Matrizen A und B in der üblichen Form vorstellst

a₁₁ ........... a_1n
......................
......................

a_n1 ...............a_nn

und B entsprechend, dann sind die Diagonalelemente x_ii von A*B

$x_{i,i} = \sum \limits_{k=1}^n a_{i,k} \cdot b_{k,i}$

Und die von B*A

$y_{i,i} = \sum \limits_{k=1}^n b_{i,k} \cdot a_{k,i}$

Die Spuren der Produkte also

tr(AB)=$\sum \limits_{i=1}^n x_{i,i} = \sum \limits_{i=1}^n \sum \limits_{k=1}^n a_{i,k} \cdot b_{k,i}$

und entsprechend

tr(BA)=$\sum \limits_{i=1}^n y_{i,i} = \sum \limits_{i=1}^n \sum \limits_{k=1}^n b_{i,k} \cdot a_{k,i}$

Und weil die Multiplikation und Addition im Körper kommutativ sind,

sind beide gleich.