Komponenten des Vektors bestimmen

Question

Aufgabe:

Die Vektoren p ⃗ = (x y z) und  q ⃗ = (2 2 -1) bilden einen rechten Winkel. Der Vektor  p ⃗ hat die Länge 15.

Außerdem gilt: x+5z = 0, x> 0. Bestimme die Komponenten des Vektors  p ⃗.

Problem/Ansatz:

Wäre super froh wenn mir jemand die Lösung dazu geben würde, am besten mit Rechnungsweg. Irgendwie scheint es mir logisch aber ich weiss trotzdem nicht, wie ich anfangen soll. Also die Formel für die Berechnung zur Länge eines Vektors kenne ich, hab das Gefühl das braucht man hier auch, aber hab echt grad kein Plan wie ich das lösen soll...

Comments

Kannst du das lesen???

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Bei mir stehts anders... sorry, warte schnell!

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Bei mir stehts anders.

Das sind die Kollateralschäden, wenn man sich nicht die Mühe macht, eine Frage selbst einzugeben und stattdessen auf Copy & Paste vertraut.

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Rechter Winkel => Skalarprodukt = 0 => 1. Gleichung

Länge von p = 15 => 2. Gleichung

x+5z = 0 => 3. Gleichung

Kannst du dieses Gleichungssystem mal explizit aufschreiben?

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Jap, hab ich.. Ich hab auch mal probiert einfach Zahlen für x,y,z, einzusetzen sodass am Ende 0 rauskommt aber das haut dann mit der Länge 15 nicht hin..

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Dann form die 3 Gleichung mal so um dass du z in Abhängigkeit von x kennst

Setze dass dann in die 1. ein. Dann kannst du y in Abhängigkeit von x angeben

Wenn du dann beides in die 2. einsetzt erhältst du

15 = Ausdruck der nur von x abhängt

Mit der Zusatzinformation x > 0 kannst du das x dann sogar eindeutig bestimmen. Und damit dann auch y und z.

Probieren bzw. raten muss man hier eigentlich nichts.

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Sorry, irgendwie klingt es logisch aber ich versteh's grad absolut nicht. Wärst du so lieb und würdest mir das aufschreiben? bin echt zu blöd, tut mir leid

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Wärest DU mal so lieb und würdest nach inzwischen einer halben Stunde die Aufgabe dann doch einmal LESBAR aufschreiben?

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Wärest DU mal so lieb und würdest nach inzwischen einer halben Stunde die Aufgabe dann doch einmal LESBAR aufschreiben?

Die ist doch mittlerweile lesbar? Was gefällt dir daran nicht?

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Text erkannt:

Die Vektoren \( \vec{p}=(x y z) \) und \( \vec{q}=(22-1) \) bilden einen rechten Winkel. Der Vektor \( \vec{p} \) hat die Länge 15
Außerdem gilt: \( x+5 z=0, x>0 \). Bestimme die Komponenten des Vektors \( \vec{p} . \)

hab ich ja.. falls du das nicht siehst weiss ich auch nicht woran es liegt. mehr kann ich auch nicht machen

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Interessant: Im Opera-Browser sieht die Seite immer noch so aus wie eingangs kritisiert.

Answer 1

Aloha :)

Die Vektoren \(\vec p=(x;y;z)^T\) und \(\vec q=(2;2;-1)^T\) bilden einen rechten Winkel:$$\vec p\cdot\vec q=0\implies2x+2y-z=0\implies z=2x+2y\quad[1]$$Der Vektor \(\vec p\) hat die Länge \(15\):$$\left\|\vec p\right\|^2=15^2\implies x^2+y^2+z^2=225\quad[2]$$Außerdem gilt:$$x+5z=0\quad[3]\quad;\quad x>0\quad[4]$$

Wir kombinieren Gleichung [1] und Gleichung [3]:$$0=x+5z=x+5(2x+2y)=11x+10y\implies y=-\frac{11}{10}x$$Das setzen wir in Gleichung [1] ein:$$z=2x+2y=2x+2\cdot\left(-\frac{11}{10}x\right)=\frac{20}{10}x-\frac{22}{10}x\implies z=-\frac x5$$Diese beiden Ergebnisse setzen wir in Gleichung [2] ein:$$225=x^2+y^2+z^2=x^2+\left(-\frac{11}{10}x\right)^2+\left(-\frac{x}{5}\right)^2=\frac{225}{100}x^2\implies x^2=100$$

Wegen [4] muss \(x=+\sqrt{100}=10\) sein und wir haben den Vektor \(\vec p\) gefunden:$$\vec p=\left(10;-11;-2\right)^T$$

Comments

Auf so eine Antwort hab ich immer gewartet, jetzt macht es endlich Sinn! Tausend Dank:)

  Hab noch eine andere Frage zu diesem Ansatz: wenn Vektor =⃗ und Vektor =⋅⃗,>0, wird eine Fläche ABCD gebildet (vom Punkt A ((−2|1|7)) an.

Berechne k und die fehlenden Koordinaten der Punkte B,C und D.

--> mein Ansatz: für k habe ich 5 rausbekommen, stimmt das?

--> und was wären die Koordinaten für die restlichen Punkte?

danke für deine Hilfe im voraus & lg!

Answer 2

Hallo

1. Vektor finden  mit x=-5z Länge egal, dann ist jedes vielfaches des Vektors auch senkrecht, des halb kannst du ihn leicht auf Länge 15 bringen.

Schreib nicht  dass du etwas gemacht hast sondern genau deine Rechnung, nur dann kann man dir gezielt helfen

lul

Comments

Vektor finden mit x=-5z

Sind die alle senkrecht zum Vektor p ?

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Hallo natürlich nahm ich an dass senkrecht selbstverständlich ist

also Skalarprodukt (2,2,-1)*(-5z,y,z)=0 gibt eine Gleichung für z,y

dann Betrag=15 ergibt einen eindeutigen Vektor

oder (2,2,-1)*(-5,y,1)=0 ergibt einen senkrechten Vektor v , dann 15*v/|v| ergibt den gesuchten,

Gruß lul