Extremalproblem einer Funktion

Question

Aufgabe:

Unter dem Graphen von $\mathrm{f}(\mathrm{x})=\mathrm{e}^{-\mathrm{x}^{2}}$ wird ein achsenparalleles Rechteck mit den Eckpunkten $A(-z ; 0), B(z ; 0), C(z ; f(z)), D(-z ; f(-z))$ einbeschrieben.
Wie muss z gewählt werden, wenn der Flächeninhalt des Rechtecks maximal werden soll?

Problem/Ansatz

Ich weiß echt nicht wie ich das berechnen soll :(

Answer 1

Aloha :)

Das Rechteck hat die Breite $2z$ und die Höhe $f(z)=e^{-z^2}$. Seine Fläche ist daher:$$F(z)=2ze^{-z^2}$$Kandidaten für Extremstellen finden wir dort, wo die erste Ableitung null wird:

$$F'(z)=2e^{-z^2}+2ze^{-z^2}(-2z)=2e^{-z^2}\left(1-2z^2\right)\stackrel!=0\implies z^2=\frac12\implies \boxed{z=\frac{1}{\sqrt2}}$$Da die Exponentialfunktion $e^{-z^2}>0$ für alle $z$ ist, kann nur der Term in Klammern gleich $0$ werden. Da $z$ als Abstand vereinbart wurde, wählen wir die positive Lösung.

Wir prüfen noch, ob bei $z=\frac{1}{\sqrt2}$ tatsächlich ein Maximum vorliegt.$$F''(z)=2e^{-z^2}(-2z)\cdot(1-2z^2)+2e^{-z^2}\cdot(-4z)=4ze^{-z^2}\left(2z^2-3\right)\implies$$$$F''\left(\frac{1}{\sqrt2}\right)=-4\sqrt{\frac2e}<0\implies\text{Maximum}$$

Plotlux öffnen

f₁(x) = e^(-x²)Zoom: x(-3…3) y(-0,1…1,1)f₂(x) = 1/√(e)·(x>=-1/sqrt(2))·(x<=1/sqrt(2))

Die Fläche beträgt übrigens:$$F_{\text{max}}=2\cdot\frac{1}{\sqrt2}e^{-\frac12}=\sqrt{\frac2e}$$