Zeigen, dass die Folgen konvergieren

Question

Aufgabe:

a) Zeigen Sie, dass die durch

$a_{1}=\frac{1}{4}, \quad a_{n+1}=a_{n}^{2}+\frac{1}{4}, \quad n \in \mathbb{N}$

rekursiv definierte Folge $\left\{a_{n}\right\}_{n \in \mathbb{N}}$ konvergiert.
Hinweis: Zeigen Sie dazu durch vollständige Induktion, dass $a_{n}<\frac{1}{2}$ für alle $n \in \mathbb{N}$ gilt.

b) Es sei $d \in \mathbb{R}_{+}$. Zeigen Sie mithilfe des Monotoniekriteriums, dass die durch

$b_{1}:=0, \quad b_{n+1}:=\frac{b_{n}^{2}}{2 d}+\frac{d}{2}, \quad n \in \mathbb{N}$

rekursiv definierte Folge $\left\{b_{n}\right\}_{n \in \mathbb{N}}$ konvergiert.
Hinweis: Zeigen Sie zunächst durch vollständige Induktion, dass $b_{n}<d$ für alle $n \in \mathbb{N}$ gilt.

Problem/Ansatz:

Ich weiß nicht, wie ich hier genau vorgehen soll.

Comments

Zeige, dass die Folgen beschränkt sind und monoton wachsend oder fallend. Beschränktheit machst du per induktion, steht sogar im Hinweis welche Schranke