Verteilungsfunktion, Quantilfunktion und Median bestimmen

Question

Sei \( X \sim \operatorname{Lap}(\mu, \sigma) \) für \( \mu \in \mathbb{R} \) und \( \sigma>0 \) laplace verteilt mit Wahrscheinlichkeitsdichte

\( f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, \quad f(x \mid \mu, \sigma):=\frac{1}{2 \sigma} \mathrm{e}^{-\frac{|x-\mu|}{\sigma}} \)
(i) Bestimmen Sie die Verteilungsfunktion der Laplaceverteilung.
(ii) Bestimmen Sie die Quantilfunktion der Laplaceverteilung.
(iii) Berechnen Sie den Median sowie das 1. und 9. Dezil der Laplaceverteilung im Fall von \( \mu=1 \) und \( \sigma=2 \).

Answer 1

(i) Bestimmen Sie die Verteilungsfunktion der Laplaceverteilung.

\(F(x) = \int\limits_{-\infty}^x f(t)\,\mathrm{d}t\)

(ii) Bestimmen Sie die Quantilfunktion der Laplaceverteilung.

Das ist die Umkehrfunktion von \(F\).