Aloha :)
Wir betrachten die Folge:$$b_n=\frac{1^2+2^2+\cdots+n^2}{n(n+1)}$$Die ersten Glieder der Folge lauten:$$a_1=\frac12\;;\;a_2=\frac56\;;\;a_3=\frac{14}{12}\;;\;a_4=\frac{30}{20}\;;\;a_5=\frac{55}{30}\;;\;a_6=\frac{91}{42}$$Es fällt auf, dass man diese Brüche alle auf den Nenner \(6\) bringen kann:$$a_1=\frac36\;;\;a_2=\frac56\;;\;a_3=\frac{7}{6}\;;\;a_4=\frac{9}{6}\;;\;a_5=\frac{11}{6}\;;\;a_6=\frac{13}{6}$$Daraus leiten wir folgende Vermutung ab:$$b_n=\frac{1^2+2^2+\cdots+n^2}{n(n+1)}=\frac{2n+1}{6}$$
Wir beweisen diese Vermutung durch vollständige Induktion. Die Verankerung bei \(n=1,2,3,4,5,6\) ist durch unsere Vorüberlegungen bereits erfolgt. Es folgt der Induktionsschritt von \(n\) auf \((n+1)\):
$$b_{n+1}=\frac{1^2+2^2+\cdots+n^2+(n+1)^2}{(n+1)(n+2)}=\frac{1^2+2^2+\cdots+n^2}{(n+1)(n+2)}+\frac{(n+1)^2}{(n+1)(n+2)}$$$$\phantom{b_{n+1}}=\frac{1}{n+2}\cdot\frac{1^2+2^2+\cdots+n^2}{n+1}+\frac{n+1}{n+2}=\frac{n}{n+2}\cdot\frac{1^2+2^2+\cdots+n^2}{n(n+1)}+\frac{n+1}{n+2}$$Nun setzen wir die Induktionsvoraussetzung ein:$$\phantom{b_{n+1}}=\frac{n}{n+2}\cdot\frac{2n+1}{6}+\frac{n+1}{n+2}=\frac{n\cdot(2n+1)}{(n+2)\cdot6}+\frac{(n+1)\cdot6}{(n+2)\cdot6}=\frac{(2n^2+n)+(6n+6)}{(n+2)\cdot6}$$$$\phantom{b_{n+1}}=\frac{(2n^2+3n)+(4n+6)}{(n+2)\cdot6}=\frac{n\cdot(2n+3)+2\cdot(2n+3)}{(n+2)\cdot6}=\frac{(n+2)\cdot(2n+3)}{(n+2)\cdot6}$$$$\phantom{b_{n+1}}=\frac{2n+3}{6}=\frac{(2n+2)+1}{6}=\frac{2(n+1)+1}{6}\quad\checkmark$$
Damit ist unsere Vermutung \(\left(b_n=\frac{2n+1}{6}\right)\) bewiesen. Die Folge \((b_n)\) divergiert daher und ist insbesondere nicht nach oben beschränkt.
