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\( M=\left\{1+\frac{1}{n}-\frac{1}{2^{m}}: n, m \in \mathbb{N}\right\} \)


Ich soll mit folgender Definition das sup M , max M , inf M, min M bestimmen, sofern diese existieren.  Dazu muss ich ja zeigen, dass die menge von oben und unten beschränkt ist.

ich hab als untere Schranke 3/2 raus für n = 1 , m = 1 aber wie komme ich auf die obere Schranke?

Definiton:


Sei \( M \subset \mathbb{R}, M \neq \emptyset \), nach oben beschränkt. Dann:
\( s=\sup M \Longleftrightarrow\left\{\begin{array}{ll} (i) \quad & x \leq s \text { für alle } x \in M \\ (\text { ii }) & \text { Es gibt eine Folge }\left(x_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} \text { in } M \text { mit } x_{n} \stackrel{n \rightarrow \infty}{\longrightarrow} s \end{array}\right. \)
Sei \( M \subset \mathbb{R}, M \neq \emptyset \), nach unten beschränkt. Dann:
\( s=\inf M \Longleftrightarrow\left\{\begin{array}{ll} (\text { iii }) & x \geq s \text { für alle } x \in M \\ (\text { iv }) & =(\text { ii }) \end{array}\right. \)

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untere Schranke 3/2

Das ist nicht richtig. Mit n = 2, m = 1 ist 1 + 1/2 - 1/21 = 1 ∈ M und 1 < 3/2.

aber wie komme ich auf die obere Schranke?

Du musst in dem Term \(1+\frac{1}{n}-\frac{1}{2^{m}}\) das \(n\) so wählen, dass \(\frac{1}{n}\) möglichst groß ist (damit möglichst viel addiert wird) und das \(m\) so wählen, dass \(\frac{1}{2^m}\) möglichst klein ist (damit möglichst wenig subtrahiert wird).

von 85 k 🚀

ja das habe ich getan, ich hab gesagt das -1/2^m <= 0 und bei 1/n <= ?

was wähle ich denn da? da bin ich etwas verwirrt.

und ihre rechnung ist doch falsch für die untere schranke für n und m = 2 wäre das ja:

1+ 1/2 - 1/4 , und nicht 1 + 1/2 - 1/2 , somit ist 3/2 kleinste schranke

für n und m = 2


Wieso ändert du n und m "im Gleichschritt"? Die beiden haben nichts miteinander zu tun. Du kannst m=1 wählen und n gegen unendlich gehen lassen.


Und was hat deine Berechnung 1+ 1/2 - 1/4 ,mit einer angeblichen Schranke 3/2 zu tun?

1+ 1/2 - 1/4 , ist 5/4 (aber die unteren Schranken sind noch kleiner).

ja weil Herr Oswald das so gemacht hat, er hat ja n = 2 und m = 2 genommen

Er wollte dir nur ein Beispiel nennen, wo das Ergebnis kleiner als 3/2 ist. Mit 1 hat er sich verrechnet.

Aber 5/4 ist auch kleiner als 3/2.

Ah stimmt ich verstehe, aber wie genau komme ich dann wirklich auf die alles kleinste Schranke muss ich da einfach testen?

Kann es sein, dass es weder sup und max noch inf und min gibt ?

da wir ja für n und m immer eine zahl finden damit aus der rechnung immer was kleineres rauskommt. und für das SUpremum genauso wenn ich -1/2^m gegen 0 abschätze und 1/n gegen unendlich

Die kleinste obere Schranke (Supremum) ist 1+1-0.

Die größte untere Schranke (Infimum) ist 1+0-0,5.

Diese beiden beiden Werte können aber konkret nicht erreicht werden, also weder Maximum noch Minimum.

ja weil Herr Oswald

oswald. Nicht Herr Oswald.

er hat ja n = 2 und m = 2 genommen

Ich meinte n = 2 und m = 1. Ich habe das korrigiert.

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