Zeigen Sie, dass (E,\|·\|C1) und (E,\|·\|C1) normierte Vektorräume sind.

Question

Gibt es jemanden der diese Aufgabe lösen kann?

Text erkannt:

Aus der Analysis I ist bekannt, dass
$E=C^{1}([0,1])=\{f:[0,1] \rightarrow \mathbb{R} \mid f \text { ist stetig differenzierbar }\}$
ein reeller Vektorraum ist. Für $f \in E$ definieren wir
$\|f\|_{C^{1}}:=\|f\|_{\infty}+\left\|f^{\prime}\right\|_{\infty} \quad \text { und } \quad\|f\|_{C^{1}}:=|f(0)|+\left\|f^{\prime}\right\|_{\infty} .$
(a) Zeigen Sie, dass $\left(E,\|\cdot\|_{C^{1}}\right)$ und $\left(E,\|\cdot\|_{C^{1}}\right)$ normierte Vektorräume sind.
(b) Zeigen Sie, dass die Normen $\|\cdot\|_{C^{1}}$ und $\|\cdot\|_{C^{1}}$ äquivalent sind.
(c) Zeigen Sie, dass $\left(E,\|\cdot\|_{C^{1}}\right)$ und $\left(E,\|\cdot\|_{C^{1}}\right)$ Banachräume sind.

Comments

Das ist viel einfache Schreiberei. Vielleicht kannst Du uns entgegenkommen und konkret für das erste Beispiel aufschreiben, welche Eigenschaften erfüllt sein müssen, damit eine Norm vorliegt, und dann erläutern, wo Deine Schwierigkeiten liegen.