Bestimmen Sie jeweils eine Basis von Polg(R) und Polu(R).

Question

Aufgabe:

Eine Polynomfunktion f ∈ Pol(R) heißt gerade bzw. ungerade, falls
f(−x) = f(x) bzw. f(−x) = −f(x) für alle x ∈ R gilt.

Bestimmen Sie jeweils eine Basis von Pol_g(R) und Pol_u(R). Beweisen Sie die Korrektheit Ihrer Antworten.

Answer 1

Hallo

x²ⁿ und x²ⁿ⁺¹  n von 0 bis Grad des Polynoms tun das. als de 2 Basen  und es ist leicht zu zeigen dass sie eine Basis sind.

Gruß lul

Answer 2

Aloha :)

Für gerade Funktionen gilt $g(x)=g(-x)$.

Für eine gerade Polynomfunktion $g(x)=\sum_{k=0}^na_nx^n$ heißt das:

$$g(x)=g(-x)\quad\bigg|\;g(x)=\sum\limits_{k=0}^na_nx^n$$$$\sum\limits_{k=0}^na_nx^n=\sum\limits_{k=0}^na_n(-x)^n\quad\bigg|\text{Aufteilen in gerade und ungerade Exponenten}$$$$\sum\limits_{k=0}^{\lfloor n/2\rfloor}a_{2k}x^{2k}+\sum\limits_{k=0}^{\lfloor n/2\rfloor}a_{2k+1}x^{2k+1}=\sum\limits_{k=0}^{\lfloor n/2\rfloor}a_{2k}(-x)^{2k}+\sum\limits_{k=0}^{\lfloor n/2\rfloor}a_{2k+1}(-x)^{2k+1}$$$$\sum\limits_{k=0}^{\lfloor n/2\rfloor}a_{2k}x^{2k}+\sum\limits_{k=0}^{\lfloor n/2\rfloor}a_{2k+1}x^{2k+1}=\sum\limits_{k=0}^{\lfloor n/2\rfloor}a_{2k}\underbrace{(-1)^{2k}}_{=+1}\,x^{2k}+\sum\limits_{k=0}^{\lfloor n/2\rfloor}a_{2k+1}\underbrace{(-1)^{2k+1}}_{=-1}\,x^{2k+1}$$$$\sum\limits_{k=0}^{\lfloor n/2\rfloor}a_{2k}x^{2k}+\sum\limits_{k=0}^{\lfloor n/2\rfloor}a_{2k+1}x^{2k+1}=\sum\limits_{k=0}^{\lfloor n/2\rfloor}a_{2k}x^{2k}-\sum\limits_{k=0}^{\lfloor n/2\rfloor}a_{2k+1}x^{2k+1}\quad\bigg|-\sum\limits_{k=0}^{\lfloor n/2\rfloor}a_{2k}x^{2k}$$$$\sum\limits_{k=0}^{\lfloor n/2\rfloor}a_{2k+1}x^{2k+1}=-\sum\limits_{k=0}^{\lfloor n/2\rfloor}a_{2k+1}x^{2k+1}\quad\bigg|+\sum\limits_{k=0}^{\lfloor n/2\rfloor}a_{2k+1}x^{2k+1}$$$$2\sum\limits_{k=0}^{\lfloor n/2\rfloor}a_{2k+1}x^{2k+1}=0\quad\big|\,:\,2$$$$\sum\limits_{k=0}^{\lfloor n/2\rfloor}a_{2k+1}x^{2k+1}=0$$

Da diese Forderung für alle $x\in\mathbb R$ gelten muss, ist sie nur dann erfüllt, wenn alle $a_{2k+1}=0$ sind. Mit anderen Worten, die Koeffiienten aller $x$ mit ungeradem Exponenten verschwinden. Eine gerade Polynomfunktion hat daher nur gerade Potenzen von $x$. Eine Basis wäre daher:$$G=(1, x^2, x^4, x^6, \ldots, x^{2\cdot\lfloor n/2\rfloor})$$

Die analoge Argumenation für ungerade Polynome $u(x)=-u(-x)$ kriegst du nun sicherlich selbst hin. Wenn dabei Fragen auftauchen sollten, bitte einfach hier in den Kommentaren melden.