Aloha :)
Für gerade Funktionen gilt g(x)=g(−x).
Für eine gerade Polynomfunktion g(x)=∑k=0nanxn heißt das:
g(x)=g(−x)∣∣∣∣∣g(x)=k=0∑nanxnk=0∑nanxn=k=0∑nan(−x)n∣∣∣∣∣Aufteilen in gerade und ungerade Exponentenk=0∑⌊n/2⌋a2kx2k+k=0∑⌊n/2⌋a2k+1x2k+1=k=0∑⌊n/2⌋a2k(−x)2k+k=0∑⌊n/2⌋a2k+1(−x)2k+1k=0∑⌊n/2⌋a2kx2k+k=0∑⌊n/2⌋a2k+1x2k+1=k=0∑⌊n/2⌋a2k=+1(−1)2kx2k+k=0∑⌊n/2⌋a2k+1=−1(−1)2k+1x2k+1k=0∑⌊n/2⌋a2kx2k+k=0∑⌊n/2⌋a2k+1x2k+1=k=0∑⌊n/2⌋a2kx2k−k=0∑⌊n/2⌋a2k+1x2k+1∣∣∣∣∣−k=0∑⌊n/2⌋a2kx2kk=0∑⌊n/2⌋a2k+1x2k+1=−k=0∑⌊n/2⌋a2k+1x2k+1∣∣∣∣∣+k=0∑⌊n/2⌋a2k+1x2k+12k=0∑⌊n/2⌋a2k+1x2k+1=0∣∣∣ : 2k=0∑⌊n/2⌋a2k+1x2k+1=0
Da diese Forderung für alle x∈R gelten muss, ist sie nur dann erfüllt, wenn alle a2k+1=0 sind. Mit anderen Worten, die Koeffiienten aller x mit ungeradem Exponenten verschwinden. Eine gerade Polynomfunktion hat daher nur gerade Potenzen von x. Eine Basis wäre daher:G=(1,x2,x4,x6,…,x2⋅⌊n/2⌋)
Die analoge Argumenation für ungerade Polynome u(x)=−u(−x) kriegst du nun sicherlich selbst hin. Wenn dabei Fragen auftauchen sollten, bitte einfach hier in den Kommentaren melden.