Bestimmtes Integral mit drei Lösungsmöglichkeiten

Question

Aufgabe:

Entscheide, welche Berechnung eines bestimmten Integrals falsch ist. Dafür sei \( f(x)=-\sin (x) \).

\( \int \limits_{0}^{\pi}-\sin (x) d x=\cos (0)-\cos (\pi) \)

\( \int \limits_{0}^{\pi}-\sin (x) d x=\cos (\pi)-\cos (0) \)

\( \int \limits_{0}^{\pi}-\sin (x) d x=-2 \sin \left(\frac{\pi}{2}\right) \)

Problem/Ansatz:

Im Bild soll man ja die falsche Antwort auswählen, ist hier aber eigentlich nicht nur eine der drei richtig und die beiden anderen falsch? Weil für mich ist hier nur die 2. richtig…

Answer 1

Wo hast du genau Probleme? Die erste Berechnung ist natürlich verkehrt. Dort kommt 2 auf der rechten Seite heraus, was falsch ist.

Die zweite Gleichung wäre die übliche Berechnung dieses Integrals mittels der Stammfunktion. Bei der dritten Gleichung wäre das keine übliche Berechnung mittels der Stammfunktion. Trotzdem stimmt die Gleichung, weil rechts auch -2 herauskommt.

Answer 2

Aloha :)

Ich würde hier zuerst das Integral berechnen:$$I=\int\limits_0^\pi-\sin(x)\,dx=\left[\cos(x)\right]_0^\pi=\cos(\pi)-\cos(0)=-2$$und dann die rechten Seiten der drei Lösungsvarinaten damit vergleichen:

$$(1)\quad\cos(0)-\cos(\pi)=2\quad\stackrel{\bullet\;\bullet}{\frown}$$$$(2)\quad\cos(\pi)-\cos(0)=-2\quad\checkmark$$$$(3)\quad-2\sin\left(\frac\pi2\right)=-2\quad\checkmark$$

Die Antworten (2) und (3) sind also korrekt.