Aufgabe:
Berechnen Sie den Wert des uneigentlichen Integrals
∫01e−xxdx \int_{0}^{1} \frac{e^{-\sqrt{x}}}{\sqrt{x}} d x ∫01xe−xdx
Hallo,
für 0<ε<1 0 < \varepsilon < 1 0<ε<1 gilt:
∫ε11x⋅e−x dx=y=x, dy=12xdx2∫ε1e−y dy=2⋅(e−ε−1e)=2e−ε−2e \int \limits_{\varepsilon}^{1} \frac{1}{\sqrt{x}} \cdot e^{ -\sqrt{x}} \,dx \overset{y = \sqrt{x},\, dy = \frac{1}{2\sqrt{x}}dx}{=} 2 \int \limits_{\sqrt{\varepsilon}}^{1} e^{ -y} \,dy = 2 \cdot (e^{-\sqrt{\varepsilon}} - \frac{1}{e}) = 2e^{-\sqrt{\varepsilon}} - \frac{2}{e} ε∫1x1⋅e−xdx=y=x,dy=2x1dx2ε∫1e−ydy=2⋅(e−ε−e1)=2e−ε−e2
⟹∫011x⋅e−x dx=limε→0+∫ε11x⋅e−x dx=limε→0+(2e−ε−2e)=2−2e \Longrightarrow \int \limits_{0}^{1} \frac{1}{\sqrt{x}} \cdot e^{ -\sqrt{x}} \,dx = \lim\limits_{\varepsilon\to0^+}\int \limits_{\varepsilon}^{1} \frac{1}{\sqrt{x}} \cdot e^{ -\sqrt{x}} \,dx = \lim\limits_{\varepsilon\to0^+}(2e^{-\sqrt{\varepsilon}} - \frac{2}{e}) = 2 - \frac{2}{e} ⟹0∫1x1⋅e−xdx=ε→0+limε∫1x1⋅e−xdx=ε→0+lim(2e−ε−e2)=2−e2
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