Zeigen Sie, dass für alle v, w ∈ V gilt:

Question

Aufgabe:

Es seien \( V \) ein euklidischer Vektorraum mit Skalarprodukt \( \langle\cdot, \cdot\rangle \) und \( v_{1}, \ldots, v_{n} \in V \) linear unabhängig. Wir bezeichnen die vom Skalarprodukt induzierte Norm mit \( \|\cdot\| \).
Weiter gelte \( \|v\|^{2}=\sum \limits_{i=1}^{n}\left\langle v, v_{i}\right\rangle^{2} \) für alle \( v \in V \). Zeigen Sie, dass für alle \( v, w \in V \) gilt:
a) \( \langle v, w\rangle=\frac{1}{4}\left(\|v+w\|^{2}-\|v-w\|^{2}\right) \)
b) \( \langle v, w\rangle=\sum \limits_{i=1}^{n}\left\langle v, v_{i}\right\rangle\left\langle w, v_{i}\right\rangle \)
c) \( v=\sum \limits_{i=1}^{n}\left\langle v, v_{i}\right\rangle v_{i} \)
d) \( \left\{v_{1}, \ldots, v_{n}\right\} \) ist eine Orthonormalbasis von \( V \).

Problem/Ansatz:

Ich habe leider keine Ahnung, wie man diese Behauptungen beweisen soll.

Hat jemand von Euch da eine Idee und könnte es mir erklären?

Answer 1

z.B. zu a)  Gehe von rechts nach links vor:

\( \frac{1}{4}\left(\|v+w\|^{2}-\|v-w\|^{2}\right) \)

Weil es die vom Skalarprodukt induzierte Norm ist

\( = \frac{1}{4}\left( <v+w,v+w> -< v-w,v-w> \right) \)

Bilinearität des Skalarproduktes ergibt

\(=\frac{1}{4}\left( <v,v> +<w,v> +<v,w>+<w,w> -(< v,v> -<w,v> -<v,w> +<w,w>) \right) \)

\(=\frac{1}{4}\left(<w,v> +<v,w> + <w,v>  + <v,w>  \right) \)

Wegen der Symmetrie des Skalarproduktes also

\(=\frac{1}{4}\ \cdot 4<v,w> =<v,w>. \)