Vektorsystem mit Rang 3

Question

Aufgabe:

Für welche $\alpha \in \mathbb{R}$ hat das Vektorsystem den Rang 3?

$\left\{\left(\begin{array}{l} \alpha \\ 1 \\ 3 \end{array}\right),\left(\begin{array}{c} 1 \\ 3 \\ -2 \alpha \end{array}\right),\left(\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ -3 \end{array}\right)\right\}$

Problem/Ansatz:

Soll man diese Vektoren mit LGS auflösen?

Answer 1

Aloha :)

Der Betrag der Determinante einer $n\times n$-Matrix entspricht dem $n$-dimensionalen Volumen, das die $n$ Spalten- oder die $n$ Zeilenvektoren aufspannen.

Wenn das gegebene Vektorsystem vom Rang $3$ sein soll, muss es ein $3$-dimensionales Volumen aufspannen. Das heißt, die Determinante muss $\ne0$ sein.

$$0\ne\left|\begin{array}{rrr}a & 1 & 1\\1 & 3 & 2\\3 & -2a & -3\end{array}\right|$$Wir subtrahieren die doppelte Zeile 1 von Zeile 2 und addieren die dreifache Zeile 1 zur Zeile 3. Dadurch entstehen in der letzten Spalte zwei Nullen, sodass wir die Determinante bequem nach der letzten Spalte entwickeln können:$$0\ne\left|\begin{array}{rrr}a & 1 & 1\\1-2a & 1 & 0\\3+3a & 3-2a & 0\end{array}\right|=(1-2a)(3-2a)-(3+3a)\cdot1$$$$\phantom0=3-6a-2a+4a^2-3-3a=4a^2-11a=a(4a-11)$$$$\implies\quad a\ne0\;\land\,a\ne\frac{11}{4}$$

Answer 2

Soll man diese Vektoren mit LGS auflösen?

Das steht dort nicht. Wenn du also das Handwerkszeug hast es auch anderes zu bestimmen dann steht es dir frei das auch anders zu machen.

DET([a, 1, 1; 1, 3, 2; 3, - 2·a, -3]) = 4·a² - 11·a ≠ 0 --> a ≠ 2.75 ∧ a ≠ 0