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Aufgabe:

Es seien X1 und X2 Zufallsgrößen mit σ21=20, σ22=9 und Cov(X1,X2)=σ12=−11.

Berechnen Sie Cov(3X1−X2,X1+15X2).


Problem/Ansatz:

Habe es durchgerechnet und komme nicht auf das richtige Ergebnis. Könnte mir hierbei wer helfen.

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Aloha :)

Die Kovarianz ist eine Bilinearform, d.h. sie ist in beiden Argumenten linear. Das nutzen wir bei der Berchnung der Aufgabe schamlos aus:

=Cov(3X1X2X1+15X2)\phantom=\operatorname{Cov}(3X_1-X_2\big|X_1+15X_2)=Cov(3X1X1+15X2)+Cov(X2X1+15X2)=\operatorname{Cov}(3X_1\big|X_1+15X_2)+\operatorname{Cov}(-X_2\big|X_1+15X_2)=Cov(3X1X1)+Cov(3X115X2)+Cov(X2X1)+Cov(X215X2)=\operatorname{Cov}(3X_1\big|X_1)+\operatorname{Cov}(3X_1\big|15X_2)+\operatorname{Cov}(-X_2\big|X_1)+\operatorname{Cov}(-X_2\big|15X_2)=3Cov(X1X1)+315Cov(X1X2)+(1)Cov(X2X1)+(1)15Cov(X2X2)=3\operatorname{Cov}(X_1\big|X_1)+3\cdot15\operatorname{Cov}(X_1\big|X_2)+(-1)\operatorname{Cov}(X_2\big|X_1)+(-1)\cdot15\operatorname{Cov}(X_2\big|X_2)=3Cov(X1X1)+44Cov(X1X2)15Cov(X2X2)=3\operatorname{Cov}(X_1\big|X_1)+44\operatorname{Cov}(X_1\big|X_2)-15\operatorname{Cov}(X_2\big|X_2)=3σ12+44σ1215σ22=3\sigma_1^2+44\sigma_{12}-15\sigma_2^2=320+44(11)159=3\cdot20+44\cdot(-11)-15\cdot9=559=-559

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