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Wir sollen untersuchen ob es eine lineare Abbildung ist und wenn es eine ist  sollen wir den Kern und das Bild bestimmen.

a) Phi: R^2 -> R^3 , v -> (0, v1-v2,2*v2)^T , v =(v1,v2)^T Element R^2

b) Beta: R^2 -> R^2, u -> au mit a Element R

c) Alpha: R^2 -> R^3, v -> (v1*v2,v1+2*v2,3*v1)^T, v =(v1,v2)^T Element R^2

schonmal danke :)

Anmerkung:

^T bedeutet transponierte Zeilenvektoren. Also einfach vertikale Vektoren.

Gefragt von
Meinst du mit ^T einen transponierten (vertikalen) Vektor?
Ja genau, den normalen Vektor nur vertikal dargestellt.

1 Antwort

+1 Punkt

ok. Dann schreib ich hier auch ^T

b) Beta: R^2 -> R^2, u -> au mit a Element R

ist auf jeden Fall eine lineare Abbildung.

Nämlich eine zentrische Streckung mit Zentrum (0,0).

Das Bild ist ganz R^2, falls a≠0 ist.

Der Kern nur (0,0)^T.

Beweis für Linearität:

Seien u,v Element R^2 und b Element R)

Beta(u+v) = a(u+v) = au + av = Beta(u) + Beta(v)

Beta(bv) = a(bv) = (ab)v = (ba)v = b(av) = b*Beta(v)

 

Spezialfall a=0

Bild: (0,0)^T

Kern: Ganz R^2

 

a) Phi: R^2 -> R^3 , v -> (0, v1-v2,2*v2)^T , v =(v1,v2)^T Element R^2

Die Bildvektoren der Basisvektoren

Phi((1,0)) = (0,1,0)^T

Phi((0,1))=(0,-1,2)^T

Somit hätte man bei einer linearen Abbildung die Abbildungsmatrix

    0    0
(   1   -1  )
    0   2

Das wäre eine lineare Abbildung.

Da die beiden Spaltenvektoren linear unabhängig sind, ist der Bildraum 2-dimensional, genauer: die Ebene mit folgender Parameterdarstellung:

E: r = a* (0,1,0)^T +b*(0,-1,2)^T

In Koordinatendarstellung gilt E: x=0.

Der Kern ist deshalb (0,0)^T

 

Probe

     0    0          v1            0
(   1   -1  ) *(  v2  ) = ( v1-v2  )
    0   2                           2*v2

 

Frage c scheint mir etwas heikler zu sein.
Aber vielleicht kommst du jetzt ja selbst weiter.

Beantwortet von 144 k

c) Alpha: R^2 -> R^3, v -> (v1*v2,v1+2*v2,3*v1)^T, v =(v1,v2)^T Element R^2 

 

Alpha((1,0)) = (0,1,3)^T

Alpha((0,1))=(0,2,0)^T

Somit hätte man bei einer linearen Abbildung die Abbildungsmatrix

    0    0 
(   1   2  ) 
    3   0

Das wäre eine lineare Abbildung.

Da die beiden Spaltenvektoren linear unabhängig sind, ist der Bildraum 2-dimensional, genauer: die Ebene mit folgender Parameterdarstellung:

E: r = a* (0,1,3)^T +b*(0,2,0)^T

In Koordinatendarstellung gilt E: x=0.

Probe versagt:

    0    0         v1            0                            Nach Def. ABER v1*v2
(   1   2  ) *(  v2  ) = ( v1+ 2*v2  ) 
    3   0                           3*v1

 

Ein Bsp., das die Linearität widerlegt, genügt:

Bild einer Summe von Vektoren = Summe der Bilder der beiden Vektoren

(1,0) + (0,1)=  (1,1) ------> ( 1,3,3)    ≠ (0,1,3) + (0,2,0)

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