Schnittpunkt von Funktionen, Zwischenwertsatz

Question

Aufgabe:

Seien f, g : R≥0 → R zwei Funktionen mit    f(x) = −x2 + 3    und    g(x) = e^x

Zeigen Sie, dass f und g auf ihrem Definitionsbereich genau einen Schnittpunkt
besitzen.

Problem/Ansatz:

Ich würde erst einmal zeigen, dass die beiden Funktionen stetig sind und dann den Zwischenwertsatz anwenden.

Damit wäre dann f(0)>b>f(1) und g(0)<b<g(1)  und soweit ich sagen kann folgt daraus, dass es MINDESTENS einen Schnittpunkt geben muss. Ich weiß nur nicht wie ich zeigen kann, dass es GENAU einen Schnittpunkt gibt ... oder wie ich das ganze am besten aufschreibe.

Answer 1

Für x ≥ 0 ist f(x) streng monoton fallend und g(x) streng monoton steigend

Und es gilt:

f(0) = 3 > 1 = g(0)
f(1) = 2 < e = g(1)

Damit haben f(x) und g(x) genau einen Schnittpunkt im Intervall [0 ; 1]

Answer 2

Für x> 0 fällt f(x), während g(x) durchgängig wächst.

Comments

Ist es dann aber nicht trotzdem noch möglich, basierend auf der Aussage, dass die beiden ein Stück zusammen "fallen" bzw. "wachsen", es also mehr als genau einen Schnittpunkt gibt?