Hallo,
zu den Ungleichungen: Es ist ja $$\limsup\limits_n(a_n+b_n)=\lim\limits_n\sup\limits_{k\geq n}(a_k+b_k)$$ Wenn wir zeigen, dass $$\sup\limits_{k\geq n}(a_k+b_k)\leq\sup\limits_{k\geq n}(a_k)+\sup\limits_{k\geq n}(b_k)=:\alpha$$ für alle \(n\in\mathbb{N}\) gilt dann folgt (a) klarerweise. Dazu reicht es aber, nach Definition des Supremums, zu zeigen, dass \(\alpha\) eine obere Schranke von \(\{a_k+b_k\,|\,k\geq n\}\) ist. Das gilt aber trivialerweise. Insgesamt haben wir damit $$\limsup\limits_n(a_n+b_n)=\lim\limits_n\sup\limits_{k\geq n}(a_k+b_k)\leq\lim\limits_n \left(\sup\limits_{k\geq n}(a_k)+\sup\limits_{k\geq n}(b_k)\right)\\=\lim\limits_n\sup\limits_{k\geq n}(a_k)+\lim\limits_n\sup\limits_{k\geq n}(b_k)=\limsup\limits_n(a_n)+\limsup\limits_n(b_n)$$
Also die geforderte Ungleichung.
Für (b) betrachte $$\limsup\limits_n (a_n)=\limsup\limits_n ([a_n+b_n]-b_n)$$ und wende darauf zuerst (a) und dann den Hinweis an.
Zu den Beispielen: Betrachte für (a) z.B. $$a_n:=\begin{cases}2&n\,\mathrm{gerade}\\1&n\,\mathrm{ungerade}\end{cases}$$ und $$b_n:=\begin{cases}1&n\,\mathrm{gerade}\\2&n\,\mathrm{ungerade}\end{cases}$$
Für (b) z.B. $$a_n=b_n:=\begin{cases}2&n\,\mathrm{gerade}\\1&n\,\mathrm{ungerade}\end{cases}$$
Die entsprechenden \(\liminf\) Gleichungen bekommt man dann direkt aus (a) und (b) mit dem Hinweis.
