beschränte Folgen reeler Zahlen

Question

Es seien (a_n)_n∈ℕ und (b_n)_n∈ℕ beschränkte Folgen reeller Zahlen. Zeigen Sie:

a) lim sup _n→∞ (a_n+b_n) ≤ lim sup _n→∞ a_n + lim sup _n→∞ b_n,

b) lim sup _n→∞ (a_n+b_n) ≥ lim sup _n→∞ a_n + lim inf _n→∞ b_n

Geben Sie ein Folgepaar an, für das in (a) < und in (b) > gilt. Leiten sie ferner entsprechende Ungleichungen für lim inf _n→∞ (a_n+b_n) her.

Hinweis: Bereits für Teil (b) beachte man lim inf _n→∞ (-c_n) = -lim sup _n→∞ c_n.

Answer 1

Hallo,

zu den Ungleichungen: Es ist ja $$\limsup\limits_n(a_n+b_n)=\lim\limits_n\sup\limits_{k\geq n}(a_k+b_k)$$ Wenn wir zeigen, dass $$\sup\limits_{k\geq n}(a_k+b_k)\leq\sup\limits_{k\geq n}(a_k)+\sup\limits_{k\geq n}(b_k)=:\alpha$$ für alle $n\in\mathbb{N}$ gilt dann folgt (a) klarerweise. Dazu reicht es aber, nach Definition des Supremums, zu zeigen, dass $\alpha$ eine obere Schranke von $\{a_k+b_k\,|\,k\geq n\}$ ist. Das gilt aber trivialerweise. Insgesamt haben wir damit $$\limsup\limits_n(a_n+b_n)=\lim\limits_n\sup\limits_{k\geq n}(a_k+b_k)\leq\lim\limits_n \left(\sup\limits_{k\geq n}(a_k)+\sup\limits_{k\geq n}(b_k)\right)\\=\lim\limits_n\sup\limits_{k\geq n}(a_k)+\lim\limits_n\sup\limits_{k\geq n}(b_k)=\limsup\limits_n(a_n)+\limsup\limits_n(b_n)$$
Also die geforderte Ungleichung.

Für (b) betrachte $$\limsup\limits_n (a_n)=\limsup\limits_n ([a_n+b_n]-b_n)$$ und wende darauf zuerst (a) und dann den Hinweis an.

Zu den Beispielen: Betrachte für (a) z.B. $$a_n:=\begin{cases}2&n\,\mathrm{gerade}\\1&n\,\mathrm{ungerade}\end{cases}$$ und $$b_n:=\begin{cases}1&n\,\mathrm{gerade}\\2&n\,\mathrm{ungerade}\end{cases}$$

Für (b) z.B. $$a_n=b_n:=\begin{cases}2&n\,\mathrm{gerade}\\1&n\,\mathrm{ungerade}\end{cases}$$

Die entsprechenden $\liminf$ Gleichungen bekommt man dann direkt aus (a) und (b) mit dem Hinweis.