Question

Untersuchen Sie, ob durch ||x|| = \( \sqrt{x_1^2-x_1x_2+x_2^2} \) mit x = (x₁,x₂)^T ∈ ℝ² eine Norm auf ℝ² definiert wird.

Hinweis: Betrachten Sie x = Ay für die Matrix

A = \( \begin{pmatrix} 1 & \frac{-1}{\sqrt{3}} \\ 1 & \frac{1}{\sqrt{3}} \end{pmatrix} \)

Answer 1

Um zu zeigen, dass es sich um eine Norm handelt, zeige ich

darüber hinaus, dass es sich um eine Norm handelt, die von einem

Skalarprodukt herkommt.

Das Skalarprodukt wäre$$\langle x,y\rangle=x_1y_1-1/2x_1y_2-1/2x_2y_1+x_2y_2$$mit Gram-Matrix$$G=\left(\begin{array}{cc}1&-1/2\\-1/2&1\end{array}\right)$$Durch \(H=A^TGA\) bekommen wir die Gram-Matrix der symm. Bilinearform

nach dem durch \(A\) bewirkten Basiswechsel. Es ergibt sich

\(H=E_2\). Da diese die Signatur (2,0,0) hat, also positiv definit ist,

ist nach Sylvester auch \((v,w)\mapsto v^TGw\) pos. definit und somit

ein Skalarprodukt.