Bestimmen Sie die Lösungsmenge L mit Hilfe des Gauß-Verfahrens:

Question

Aufgabe: ich bräuchte hilfe für die 2d

Problem/Ansatz: Mathe

Text erkannt:

2) Bestimmen Sie die Lösungsmenge \( L \) mit Hilfe des Gauß-Verfahrens:
\( 2 x_{1}+5 x_{2}+x_{3}=8 \quad 3 r+2 s-t=1 \quad x_{1}+3 x_{2}-x_{3}=7 \)
a) \( \quad x_{1}+3 x_{2}-x_{3}=3 \)
b) \( -2 r-s=2 \)
c) \( -2 x_{1}+x_{2}-5 x_{3}=0 \) d)
\( -x_{1}-5 x_{2}+7 x_{3}=1 \)
\( 4 r+s+2 t=3 \)
\( x_{1}+2 x_{2} \)
\( =5 \)
\( 3 r-s+2 t=0 \)
\( -2 r+2 s+t=0 \)
\( -4 r+4 s+2 t=0 \)

Comments

Tipp:

Verwende x1=a, x2=b, x3=c

So ist es für viele übersichtlicher/angenehmer

Die Aufgabe ist etwas wirr. Was gehört zusammen?

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Hallo

Text erkannt:

2) Bestimmen Sie die Lösungsmenge \( L \) mit Hilfe des Gauß-Verfahrens:
\( \begin{array}{ccc}2 x_{1}+5 x_{2}+x_{3}=8 & 3 r+2 s-t=1 & x_{1}+3 x_{2}-x_{3}=7 \\ 2 & 4 r-2 & -2 x_{1}+x_{2}-5 x_{3}=0 \text { d) } \\ 3 r-s+2 t=0 & x_{1}+2 x_{2} & =5 \\ -2 r+2 s+t=0 & & \\ 4 r+4 s+2 t=0 & & \end{array} \)

Answer 1

3·r - s + 2·t = 0
- 2·r + 2·s + t = 0
- 4·r + 4·s + 2·t = 0

2*II - I ; III - I

5·s - 7·r = 0
5·s - 7·r = 0

Diese Gleichungen sind linear abhängig. Dadurch bekommen wir einen Freiheitsgrad. D.h. wir können uns z.B. r frei wählen.

Wir wählen uns r frei und setzen dann rückwärts ein

5·s - 7·r = 0 --> s = 1.4·r

- 2·r + 2·1.4·r + t = 0 --> t = - 0.8·r

Die Lösungen liegen also bei (r ; 1.4·r ; -0.8·r)

Wenn du es etwas schöner haben willst kannst du r = 5·k einsetzen

Answer 2

Aloha :)

$$\begin{array}{rrr|c|l}x_1 & x_2 & x_3 & = & \text{Aktion}\\\hline3 & -1 & 2 & 0 &+\text{Gleichung 2}\\-2 & 2 & 1 & 0 &\\-4 & 4 & 2 & 0 &-2\cdot\text{Gleichung 2}\\\hline1 & 1 & 3 & 0 &\\-2 & 2 & 1 & 0 & +2\cdot\text{Gleichung 1}\\ 0 & 0 & 0 & 0\\\hline1 & 1 & 3 & 0 &\\0 & 4 & 7 & 0 &\colon4\\ 0 & 0 & 0 & 0\\\hline1 & 1 & 3 & 0 &-\text{Gleichung 2}\\0 & 1 & \frac74 & 0 &\\ 0 & 0 & 0 & 0\\\hline1 & 0 & \frac54 & 0 &\Rightarrow x_1+\frac54x_3=0\\[0.5ex]0 & 1 & \frac74 & 0 &\Rightarrow x_2+\frac74x_3=0\\[0.5ex] 0 & 0 & 0 & 0 & \Rightarrow 0=0\quad\checkmark\end{array}$$

Das Besondere an diesem Gleichungssystem ist, dass die dritte Gleichung komplett wegfällt. Da aber \(0=0\) gilt, ist sie immer wahr und führt zu keinem Widerspruch. Die beiden ersten Gleichungen stellen wir etwas um:$$x_1=-\frac54x_3\quad;\quad x_2=-\frac74x_3$$Damit lauten alles Lösungen des Gleichungssystems:$$\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-\frac54x_3\\[0.5ex]-\frac74x_3\\[0.5ex]x_3\end{pmatrix}=x_3\begin{pmatrix}-\frac54\\[0.5ex]-\frac74\\[0.5ex]1\end{pmatrix}=\frac{x_3}{4}\begin{pmatrix}-5\\-7\\4\end{pmatrix}$$

Da wir für \(x_3\) jede beliebige reelle Zahl einsetzen können, nimmt auch \(\frac{x_3}{4}\) jede beliebige Zahl an und wir können diesen Faktor durch ein beliebiges \(\lambda\in\mathbb R\) ersetzen:$$\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}=\lambda\cdot\begin{pmatrix}-5\\-7\\4\end{pmatrix}\quad;\quad\lambda\in\mathbb R$$Das Gleichungssystem hat also unendlich viele Lösungen.