Bestimmen Sie die darstellenden Matrizen

Question

\( { } _{E} \phi_{E}:=\left(\begin{array}{ll}4 & 0 \\ 1 & 2\end{array}\right) \)
bezüglich der Standardbasis \( E:=\left(\left(\begin{array}{l}1 \\ 0\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}0 \\ 1\end{array}\right)\right) \operatorname{des} \mathbb{R}^{2} \).
Sei \( \phi: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2} \) linear mit der Darstellungsmatrix
Bestimmen Sie die darstellenden Matrizen \( { }_{B} \phi_{E},{ }_{E} \phi_{B} \) und \( { }_{B} \phi_{B} \) von \( \phi \), wobei B die Basis aus a) bezeichne.
\( B:=\left(\left(\begin{array}{l}2 \\ 1\end{array}\right),\left(\begin{array}{l}0 \\ 1\end{array}\right)\right) \)

Answer 1

Es ist also \({ } \phi(\begin{array}{l}1 \\ 0\end{array}) =\left(\begin{array}{l}4 \\ 1\end{array} \right) \)und \({ } \phi(\begin{array}{l}0 \\ 1\end{array}) =\left(\begin{array}{l}0 \\2 \end{array} \right) \)

Dabei sind die Originale und die Bilder beide mit E dargestellt.

Für \( { }_{B} \phi_{E} \) tippe ich mal (Kenne diese Schreibweise nicht genau.) man soll die Originale mit E und die Bilder mit B darstellen.

Dann gilt für die Bilder

\(\left(\begin{array}{l}4 \\ 1\end{array} \right) =x\cdot \left(\begin{array}{l}2 \\ 1\end{array}\right)+y \cdot \left(\begin{array}{l}0 \\ 1\end{array}\right)\)also x=2 und y=-1

und

\(\left(\begin{array}{l}0 \\ 2\end{array} \right) =x\cdot \left(\begin{array}{l}2 \\ 1\end{array}\right)+y \cdot \left(\begin{array}{l}0 \\ 1\end{array}\right)\) also x=0 und y=2 

Damit ist \( { }_{B} \phi_{E} =\left(\begin{array}{ll}2 & 0 \\ -1 & 2\end{array}\right) \).

Entsprechend bei den anderen indem du immer für die Darstellung

der Originale und der Bilder die passenden Basen benutzt.