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Aufgabe: Es soll die erste und zweite Ableitung zu der Funktion :

f(x)= (x^3)/2(x^2-1) errechnen.


Problem/Ansatz:

Die erste Ableitung habe ich alleine geschafft, ich komme nun bei der zweiten Ableitung nicht weiter. Mit ist auch die umformung

u/v = (u'*v-v'*u/v^2) bekannt.

Die erste Ableitung lautet f'(x)=(x^4-3x^2)/((x^2-1)^2), und laut Lösungsblatt ist diese auch richtig. Trage ich aber nun u,u',v' und v ein

(4x^3-6x)*(x^4-2x^2+1) - (4x^3-4x)*(x^4-3x^2)/((x^2-1)^2)^2

leider komme ich nur bis f''(x)= (2x^5+4x^3-6x)/((x^2-1)^2). Laut lösung wäre f''(x)= (2x^3+6x)/(x^2-1)^3 richtig.

Kann mir jemand helfen ?

von
f(x)= (x3)/2(x2-1)

Falls f(x)= (x3)/(2(x2-1)) gemeint sein sollte, dann sollst Du f(x)= (x3)/(2(x2-1)) schreiben und nicht f(x)= (x3)/2(x2-1).

Mit ist auch die umformung u/v = (u'*v-v'*u/v2) bekannt.

Das ist keine Umformung.

Mit einer Umformung wird aus einem Term ein dazu äquivalenter Term gemacht.

Die Terme u/v und (u'*v-v'*u/v2) sind nicht äquivalent.

Und wie nennt man sowas dann ?

Nun ja, da steht ein Gleichheitszeichen, also ist es eine Gleichung.

Ich vermute du wolltest ausdrücken:

        Die Ableitung von \(\frac{u}{v}\) ist \(\frac{u'v - v'u}{v^2}\).

Das darf man zum Beispiel so aufschreiben:

    \(\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - v'u}{v^2}\)

2 Antworten

+1 Daumen

$$f(x) = \frac{x^3}{2*(x^2-1)} \\ f'(x) = \frac{x^4-3x^2}{2*(x^2-1)^2} = \frac{-1}{4(x+1)^2} + \frac{-1}{4(x-1)^2} + 1/2 \\ f''(x) = \frac{1}{2*(x+1)^3} + \frac{1}{2*(x-1)^3} \\ \text{zusammenfassen: }\\ f''(x)  = \frac{x(x^2+3)}{(x^2-1)^3} \\ \text{Die angegebene Lösung ist um den Faktor 2 zu gross.} \\ \text{--------------------------------------------------------------------------} \\ \text{Die umständliche Lösung sieht so aus:} \\ f'(x) = \frac{x^4-3x^2}{2*(x^2-1)^2} \\ u(x) = x^4-3x^2 \\u'(x) = 4x^3 - 6x = 2x(2x^2-3) \\ v(x) = 2(x^2-1)^2  = 2(x^4-2x^2+1) = 2x^4-4x^2+2 \\v'(x) = 8x^3-8x = 8x(x^2-1)  \\f''(x) = \frac{u'*v - v'*u}{v^2} = \\\frac{(2x(2x^2-3))*(2(x^2-1)^2) -(8x(x^2-1))* ( x^4-3x^2) }{4(x^2-1)^4} = \\ \frac{\bold{ 4x(x^2-1)}*[(2x^2-3)(x^2-1) -2( x^4-3x^2)] }{4(x^2-1)^4} =  \\ \\ \frac{ x[(2x^2-3)(x^2-1) -2( x^4-3x^2)] }{(x^2-1)^3} =  \\ \\ \frac{ x[(2x^4-3x^2-2x^2+3 -2x^4+6x^2)] }{(x^2-1)^3} =  \\ \\ \frac{ x[(-3x^2-2x^2+3 +6x^2)] }{(x^2-1)^3} = \frac{ x(3 +x^2) }{(x^2-1)^3} \\ $$

von 3,0 k

Ich kann Ihrer Lösung leider nicht folgen. Wie kommen Sie denn von f'(x) auf = -1 /4(x+1)^2+-1 /4(x-1)^2

Die erste Ableitung "schreit" danach, in einzelne Brüche zerlegt zu werden (Partialbruchzerlegung), denn (x^2-1)^2 = (x+1)^2*(x-1)^2. Damit wird die Berechnung der zweiten Ableitung wesentlich einfacher.

Das macht Sinn, aber wie kommen sie vom Zähler "-1" wieder auf den Zähler links ? und woher kommt die 4 und +1/2?

Ich sehe ein, dass die Partialbruchzerlegung zu weit hergeholt ist. Ich habe deshalb meine Antwort um die herkömmliche Lösung erweitert.

Vielen Dank für Ihre Mühe. Könnten Sie vielleicht noch erklären wie sie auf v' kommen ? ich komme da auf v'(2x^4-4x^2+2) bzw. 2x(x^3-2x+1)

Habe meine Antwort ergänzt und u' und v' detaillierter dargestellt.

Könnten Sie vielleicht hier noch erklären wie sie in der zweiten Zeile ihrer Rechnung auf die Werte in den [] kommen ? das aus 2x(2x^2-3) = 4x(x^2-1) wird ist mir einleuchtend, jedoch nicht wie daraus nur x wird wenn Sie es abziehen

Ich konnte dahinter kommen wie sie auf (2x^2-3)(x-1) kommen aber unsicher bei 2(x^4-3x^2) ist die 2 vor der Klammer das was von 8x(x^2-1) übrig bleibt ?
Wurde an dieser stelle 8x(x^2-1) durch 4x(x^2-1) gerechnet?

aber dann wäre (4x(x^2-1)/(4x(x^2-1) = 1 und nicht x?

Oder haben Sie die Werte durch 4(x^2-1) geteilt? dann würden aber doch 2x herauskommen

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Ist bei dir der Faktor 2 im Nenner zu viel oder in der Musterlösung zu wenig ?

Benutze selber https://www.ableitungsrechner.net/ zur Hilfe oder Selbstkontrolle

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von 422 k 🚀

Hier die 2. Ableitung von mir. Vermutlich ohne die 2 im Nenner.

$$f'(x)= \frac{x^4 - 3x^2}{(x^2-1)^2} \newline f''(x)= \frac{(4x^3 - 6x) \cdot (x^2-1)^2 - (x^4 - 3x^2) \cdot 2 \cdot (x^2-1) \cdot 2x}{(x^2-1)^4} \newline f''(x)= \frac{(4x^3 - 6x) \cdot (x^2-1) - (x^4 - 3x^2) \cdot 2 \cdot 2x}{(x^2-1)^3} \newline f''(x)= \frac{(4x^5 - 4x^3 - 6x^3 + 6x) - (4x^5 - 12x^3)}{(x^2-1)^3} \newline f''(x)= \frac{2x^3 + 6x}{(x^2-1)^3}$$

Vielen Dank ! Ich habe bei der ersten Ableitung keine 2 im Nenner und laut Lösung soll dort auch keine sein. Auch die zweite Ableitung passt jetzt! Ich hab es sogar verstanden ! :)

In deiner Frage befand sich im Funktionsterm eine zusätzliche 2.

Sie haben recht im Lösungsblatt steht  f(x) x^3/ x^2-1 , also ohne 2 im nenner. Wäre meine Lösung den zu f(x)= x^3/2(x^2-1) korrekt ?

Um die Verwirrung zu beenden:

f(x) = \( \frac{x^3}{2(x^2-1)} \)

f'(x) = \( \frac{x^4-3x^2}{2(x^2-1)^2} \)

f''(x) = \( \frac{ x(3 +x^2) }{(x^2-1)^3} \)

Das entspricht meiner ersten Antwort. Und ohne die ominöse 2:

f(x) = \( \frac{x^3}{(x^2-1)} \)

f'(x) = \( \frac{x^4-3x^2}{(x^2-1)^2} \)

f''(x) = \( \frac{ 2x^3 +6x }{(x^2-1)^3} \)


Nein. Wenn sich f(x) um den Faktor 1/2 unterscheidet, dann unterscheiden sich auch alle Ableitungen um den Faktor 1/2.

Mahr als an dieser dummen zwei würde sich dann auch nichts ändern.

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