0 Daumen
111 Aufrufe

Aufgabe:

Wir betrachten die Funktion f: ]-1,∞[ → ℝ, f(x)= \( \frac{x}{1+x} \)


a) Zeigen Sie durch vollständige Induktion, dass

f(n) (x)=(-1)n+1 \( \frac{n!}{(1+x)^n+^1} \)   für alle n∈ℤ≥1 gilt.

b) Geben Sie das Taylor-Polynom Tf,0,3(x) dritter Ordnung von f an der Entwicklungsstelle x0=0 an.

c) Geben Sie das Taylor-Polynom Tf,2,3(x) dritter Ordnung von f an der Entwicklungsstelle x0=2 an.

d) Für das Lagrange-Restglied Rf,2,n(x) von f an der Entwicklungsstelle x0=2 zeige man, dass \( \lim\limits_{n\to\infty} \) Rf,2,n(x)=0 für alle x∈[1,3] gilt.


Problem/Ansatz:

Hallo zusammen, ich habe diese Aufgabe. b) und c) habe ich geschafft, jedoch hänge ich noch bei der a) und d). Könnt ihr mir da weiterhelfen?

von

Um Dir bei d) zu helfen: Wie habt Ihr denn das L Restglued R_(f,2,n)(x) definiert?

1 Antwort

0 Daumen
 
Beste Antwort

a)

Der erste Induktionsschritt ist richtig, sodann

f(n)(x) = \( (-1)^{n+1} \)* n! * \( (1+x)^{-(n+1)} \)

Beim ableiten von f(n)(x) kann der konstante Faktor \( (-1)^{n+1} \)* n! erstmal ausser Acht gelassen werden.

g(x) = \( (1+x)^{-(n+1)} \)
g'(x) = \( -(n+1) * (1+x)^{-(n+2)} \)

Daraus folgt:

f(n+1)(x) = \( (-1)^{n+1} * n! * g'(x) \)
f(n+1)(x) = \( (-1)^{n+1} * n! * -(n+1) * (1+x)^{-(n+2)} \)
f(n+1)(x) = \( (-1)^{n+2} * (n+1)! * (1+x)^{-(n+2)} \)
q.e.d.

von 3,4 k

Ein anderes Problem?

Stell deine Frage

Willkommen bei der Mathelounge! Stell deine Frage einfach und kostenlos

x
Made by a lovely community