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Aufgabe:

Wir betrachten die Funktion f: ]-1,∞[ → ℝ, f(x)= \( \frac{x}{1+x} \)


a) Zeigen Sie durch vollständige Induktion, dass

f(n) (x)=(-1)n+1 \( \frac{n!}{(1+x)^n+^1} \)   für alle n∈ℤ≥1 gilt.

b) Geben Sie das Taylor-Polynom Tf,0,3(x) dritter Ordnung von f an der Entwicklungsstelle x0=0 an.

c) Geben Sie das Taylor-Polynom Tf,2,3(x) dritter Ordnung von f an der Entwicklungsstelle x0=2 an.

d) Für das Lagrange-Restglied Rf,2,n(x) von f an der Entwicklungsstelle x0=2 zeige man, dass \( \lim\limits_{n\to\infty} \) Rf,2,n(x)=0 für alle x∈[1,3] gilt.


Problem/Ansatz:

Hallo zusammen, ich habe diese Aufgabe. b) und c) habe ich geschafft, jedoch hänge ich noch bei der a) und d). Könnt ihr mir da weiterhelfen?

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Um Dir bei d) zu helfen: Wie habt Ihr denn das L Restglued R_(f,2,n)(x) definiert?

1 Antwort

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a)

Der erste Induktionsschritt ist richtig, sodann

f(n)(x) = \( (-1)^{n+1} \)* n! * \( (1+x)^{-(n+1)} \)

Beim ableiten von f(n)(x) kann der konstante Faktor \( (-1)^{n+1} \)* n! erstmal ausser Acht gelassen werden.

g(x) = \( (1+x)^{-(n+1)} \)
g'(x) = \( -(n+1) * (1+x)^{-(n+2)} \)

Daraus folgt:

f(n+1)(x) = \( (-1)^{n+1} * n! * g'(x) \)
f(n+1)(x) = \( (-1)^{n+1} * n! * -(n+1) * (1+x)^{-(n+2)} \)
f(n+1)(x) = \( (-1)^{n+2} * (n+1)! * (1+x)^{-(n+2)} \)
q.e.d.

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