Bestimmen Sie die Basiswechselmatrix B

Question

Sei $\varphi: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{2}, \varphi(x)=\left(\begin{array}{c}2 x_{1}-x_{2} \\ 4 x_{1}+3 x_{3}\end{array}\right)$

Bestimmen Sie die Basiswechselmatrix $B_{\mathcal{E}_{3}}^{\mathcal{V}}$ und geben $\operatorname{Sie}\left(B_{\mathcal{E}_{3}}^{\mathcal{V}}\right)_{1,3}$ an.
$\left(B_{\mathcal{E}_{3}}^{\mathcal{V}}\right)_{1,3}=$

Bestimmen Sie die Basiswechselmatrix $B_{\mathcal{V}}^{\mathcal{E}_{3}}$ und geben $\operatorname{Sie}\left(B_{\mathcal{V}}^{\mathcal{E}_{3}}\right)_{1,3}$ an.
$\left(B_{\mathcal{V}}^{\mathcal{E}_{3}}\right)_{1,3}=$

Comments

Für Deine Frage bräuchte man V, phi ist überflüssig.

Answer 1

Aloha :)

Ich nehme an, die Basis $\nu$ ist dieselbe wie aus deiner vorigen Frage:

https://www.mathelounge.de/941599/bestimmen-sie-die-matrixdarstellun…

Das heißt:$$\nu=\left(\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}\right)$$

Die Koordinaten der Basisvektoren in $\nu$ sind bezüglich der Standardbasis $E_3$ angegeben. Daher kannst du die Basiswechselmatrix von $\nu$ nach $E_3$ sofort angeben:$$B_{E_3}^\nu=\left(\begin{array}{rrr}1 & 0 & \red1\\0 & 1 & 0\\0 & 0 & 1\end{array}\right)$$Das gesuchte Element bei $(1;3)$ habe ich rot markiert, es ist die $\red 1$.

In die umgekehrte Richtung wird mittels der Inversen transformiert:$$B_\nu^{E_3}=\left(B_{E_3}^\nu\right)^{-1}=\left(\begin{array}{rrr}1 & 0 & \red{-1}\\0 & 1 & 0\\0 & 0 & 1\end{array}\right)$$Das gesuchte Element bei $(1;3)$ ist wieder rot markiert, es ist diesmal $(\red{-1})$.