Zeigen Sie, dass folgende Aussagen äquivalent sind: g ◦ f = 0 und im(f) ⊆ ker(g)

Question

Aufgabe:

Seien f : V → W und g : W → X zwei lineare Abbildungen zwischen K-Vektorräumen.
Zeigen Sie, dass folgende Aussagen äquivalent sind:
(a) g ◦ f = 0
(b) im(f) ⊆ ker(g)

Problem/Ansatz:

Wie zeigt man das?

Answer 1

Wenn \( \operatorname{im}(f) \nsubseteq \operatorname{ker}(g) \), so gibt es \( y\in \operatorname{im}(f) \) jedoch \( y \notin \operatorname{ker}(g) \). Also \(g(y) \neq 0\)

Schafft du die andere Richtung alleine?

Comments

Mir fällt da nur folgendes ein:
Sei v ∈ V
g ◦ f = 0 ⇔ g(f(v)) = 0
Egal welche Zahl man für v nimmt, es folgt immer g ◦ f = 0
im(f) = f(V) für alle v ∈ V und ker(g) = g^-1(0)

g(f(v)) = 0 ⇒ f(V) ⊆ g^-1(0)

Eine Idee wäre vielleicht für 0 = g(f(v)) einzusetzen:

f(V) ⊆ g^-1(g(f(v)) = f(v)

Ich wüsste jetzt auch nicht weiter wie man diese Richtung weiter beweisen sollte. Vielleicht hast du eine bessere Idee?