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Aufgabe:

Seien f : V → W und g : W → X zwei lineare Abbildungen zwischen K-Vektorräumen.
Zeigen Sie, dass folgende Aussagen äquivalent sind:
(a) g ◦ f = 0
(b) im(f) ⊆ ker(g)


Problem/Ansatz:

Wie zeigt man das?

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Wenn im(f)ker(g) \operatorname{im}(f) \nsubseteq \operatorname{ker}(g) , so gibt es yim(f) y\in \operatorname{im}(f) jedoch yker(g) y \notin \operatorname{ker}(g) . Also g(y)0g(y) \neq 0

Schafft du die andere Richtung alleine?

Avatar von 4,8 k

Mir fällt da nur folgendes ein:
Sei v ∈ V
g ◦ f = 0 ⇔ g(f(v)) = 0
Egal welche Zahl man für v nimmt, es folgt immer g ◦ f = 0
im(f) = f(V) für alle v ∈ V und ker(g) = g-1(0)

g(f(v)) = 0 ⇒ f(V) ⊆ g-1(0)

Eine Idee wäre vielleicht für 0 = g(f(v)) einzusetzen:

f(V) ⊆ g-1(g(f(v)) = f(v)

Ich wüsste jetzt auch nicht weiter wie man diese Richtung weiter beweisen sollte. Vielleicht hast du eine bessere Idee?

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