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Hallo Community,

ich habe eine Aufgabe und kann leider nicht lösen :(

Sei K ein Körper, sei V ein K-Vektorraum und sei φ:V-->V lineare Abbildung. Zeigen Sie, dass die beiden folgenden Aussagen äquivalent sind:

(a) Kern(φ) ∩ Bild(φ) = 0
(b) Kern(φ ○ φ) = Kern(φ)

Ich danke euch schon mal für eure Hilfe! :)

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Hast du Ideen? Wie man Äquivalenzen zeigt oder zeigt, dass zwei Mengen identisch sind, weißt du oder?

Habe die Lösung von LA

ZA WARUDO #9003

2 Antworten

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So hab mir grad beim Essen mal die Aufgabe zu Gemüte geführt^^ Ist schwierig hier Tipps zu geben ohne die Katze direkt aus dem Sack zu lassen, deshalb poste ich mal die Lösung und du solltest versuchen, sie zu verstehen. Bei Fragen stehe ich natürlich zur Verfügung.

Sei \(\mathbb{K}\) ein Körper, \(V\) ein \(\mathbb{K}\)-Vektorraum und \(f:V\rightarrow V\) eine lineare Abbildung. Dann gilt \(\ker(f) \cap Im(f) = 0\) genau dann, wenn \(\ker(f^2) = \ker(f)\), wobei \(f^2:=f\circ f\).

\(Beweis.\)

"\(\Rightarrow\)":

Sei \(\ker(f) \cap Im(f) = 0\).

"\(\subset\)": Sei \(x\in\ker(f^2)\). Dann gilt \(0=f^2(x)=f(f(x))\) also ist \(f(x)\in\ker(f)\) und \(f(x)\in Im(f)\), folglich ist \(f(x)=0\) (Annahme) und damit \(x\in \ker(f)\).

"\(\supset\)": Sei \(x\in\ker(f)\). Dann gilt \(f(x)=0\). Es folgt \(f^2(x)=f(f(x))=f(0)=0\) und damit ist \(x\in\ker(f^2)\)


"\(\Leftarrow\)":

Sei \(\ker(f^2) = \ker(f)\).

Sei \(y\in \ker(f) \cap Im(f)\) beliebig. Zu zeigen ist, dass \(y=0\). Wegen \(y\in \ker(f) \cap Im(f)\) gilt insbesondere \(y\in Im(f)\) und damit existiert ein \(x\in V\) derart, dass \(f(x)=y\). Da wegen \(y\in \ker(f) \cap Im(f)\) aber auch \(y\in\ker(f)\) gilt, erhält man \(0=f(y)=f(f(x))\). Also ist \(x\in \ker(f^2)\). Nach Annahme gilt also insbesondere \(x\in \ker(f)\) und damit ist \(y=f(x)=0\).


Alles klar?

Avatar von 1,7 k

Liebe Master und LC,

ich danke euch beiden für eure Antworten! Ihr habt mir sehr geholfen! :-) Demnächst kommt die Prüfung in Algebra und ich wollte es unbedingt selber ausprobieren, hat aber nicht funktioniert. Vielleicht lag es daran, dass ich dieses Thema bei meinem Prof nicht verstehen konnte... Aber whatever, ich kann eure Antworten zu 100% nachvollziehen! Danke nochmal :-)

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also ein Element \( v \in V \) mit \( v \neq 0 \) ist entweder im Kern von \( \varphi \) oder im Bild von \( \varphi \).

Sei \( v \) im Bild von \( \varphi \) und sei \( v = \varphi(w) \). Dann ist \( \varphi(v) \neq 0 \), da \( v \) nicht im Kern und im Bild von \( \varphi \) zugleich sein kann.

Sei es im Kern von \( \varphi \), dann ist \( w = \varphi(v) = 0 \) und \( \varphi(w) = 0 \).

Dies war die Richtung (a) \( \Rightarrow \) (b).

Sei der Kern von \( \varphi \) gleich der Kern von \( \varphi \circ \varphi \). Dann gilt für ein Element \( w = \varphi(v) \) aus dem Bild von \( \varphi \), dass es nicht zum Kern von \( \varphi \) gehört. Andererseits gilt für ein Element \( w = \varphi(v) \) aus dem Kern von \( \varphi \) gemäß \( \varphi(w) = 0 \), dass es nicht zum Bild von \( \varphi \) gehört.

Das war die Richtung (b) \( \Rightarrow \) (a).

Mister

Avatar von 8,9 k

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