Zeigen Sie folgende Aussage: Hängt P(A | Bi) nicht von i ab.

Question

Sei $A$ ein Ereignis und seien $B_{1}, B_{2}, \ldots, B_{n}$ paarweise disjunkte Ereignisse mit $P\left(B_{1}\right), P\left(B_{2}\right), \ldots, P\left(B_{n}\right) \neq 0$ in einem Wahrscheinlichkeitsraum $(\Omega, \mathcal{A}, P)$. Zeigen Sie folgende Aussage: Hängt $P\left(A \mid B_{i}\right)$ nicht von $i$ ab, so gilt

$P\left(A \mid B_{i}\right)=P\left(A \mid \bigcup_{j=1}^{n} B_{j}\right)$
für alle $i=1, \ldots, n$.

Answer 1

Hallo,

zur kürzeren Notation sei $\alpha:=\mathrm P(A|B_1)$ dann ist nach Voraussetzung $\alpha:=\mathrm P(A|B_i)$ für alle $i=1,...,n$. Nutze dann die paarweise Disjunktheit der $b_1,...B_n$ um folgendes zu zeigen $$\mathbb P\left(A|\bigsqcup_{j=1}^n B_j\right)=\frac{\mathbb P\left(A\cap\left(\bigsqcup_{j=1}^nB_j\right)\right)}{\mathbb P\left(\bigsqcup_{j=1}^n B_j\right)}=\frac{\sum_{j=1}^n\mathbb P(A\cap B_j)}{\sum_{l=1}^n\mathbb P(B_j)}$$
Für $\alpha=0$ kann man schon sehen, dass die Aussage gilt. Sonst stelle $$\alpha=\mathrm P(A|B_i)=\frac{\mathbb P(A\cap B_i)}{\mathbb P(B_i)}$$ nach $\mathbb P(B_i)$ um und rechne damit den Nenner von oben aus.

(Hier steht $\sqcup$ immer für disjunkte Vereinigung)

LG Dojima