Zeigen Sie folgende Aussage: Hängt P(A | B_{i}) nicht von i ab.

Question

Sei \( A \) ein Ereignis und seien \( B_{1}, B_{2}, \ldots, B_{n} \) paarweise disjunkte Ereignisse mit \( P\left(B_{1}\right), P\left(B_{2}\right), \ldots, P\left(B_{n}\right) \neq 0 \) in einem Wahrscheinlichkeitsraum \( (\Omega, \mathcal{A}, P) \). Zeigen Sie folgende Aussage: Hängt \( P\left(A \mid B_{i}\right) \) nicht von \( i \) ab, so gilt

\( P\left(A \mid B_{i}\right)=P\left(A \mid \bigcup_{j=1}^{n} B_{j}\right) \)
für alle \( i=1, \ldots, n \).

Answer 1

Hallo,

zur kürzeren Notation sei \(\alpha:=\mathrm P(A|B_1)\) dann ist nach Voraussetzung \(\alpha:=\mathrm P(A|B_i)\) für alle \(i=1,...,n\). Nutze dann die paarweise Disjunktheit der \(b_1,...B_n\) um folgendes zu zeigen $$\mathbb P\left(A|\bigsqcup_{j=1}^n B_j\right)=\frac{\mathbb P\left(A\cap\left(\bigsqcup_{j=1}^nB_j\right)\right)}{\mathbb P\left(\bigsqcup_{j=1}^n B_j\right)}=\frac{\sum_{j=1}^n\mathbb P(A\cap B_j)}{\sum_{l=1}^n\mathbb P(B_j)}$$
Für \(\alpha=0\) kann man schon sehen, dass die Aussage gilt. Sonst stelle $$\alpha=\mathrm P(A|B_i)=\frac{\mathbb P(A\cap B_i)}{\mathbb P(B_i)}$$ nach \(\mathbb P(B_i)\) um und rechne damit den Nenner von oben aus.

(Hier steht \(\sqcup\) immer für disjunkte Vereinigung)

LG Dojima