konvexe Funktion über Intervall

Question

Hallo, ich bin momentan an einer Aufgabe und komme nicht zu einem Lösungsweg... Ich wäre dankbar, wenn wir jemand mit der Aufgabe helfen könnte!

Wir nennen eine Funktion \( f: I \rightarrow \mathbb{R} \) auf dem Intervall \( I \) konvex, falls für alle \( x_{1}, x_{2} \in I \) und \( \lambda \in(0,1) \)

\( f\left(\lambda x_{1}+(1-\lambda) x_{2}\right) \leq \lambda f\left(x_{1}\right)+(1-\lambda) f\left(x_{2}\right) \)

gilt.

Sei \( f: I \rightarrow \mathbb{R} \) auf dem Interval \( I \) konvex, und seien \( a, b \in I \) mit \( a<b \).

Zeigen Sie, dass für alle \( x \in(a, b) \) gilt:
\( \frac{f(x)-f(a)}{x-a} \leq \frac{f(b)-f(a)}{b-a} \leq \frac{f(b)-f(x)}{b-x} . \)

LG

Answer 1

Wir haben
\( f(\lambda b+(1-\lambda) a) \leqslant \lambda f(b)+(1-\lambda) f(a) \Longleftrightarrow f(\lambda(b-a)+a)-f(a) \leqslant \lambda(f(b)-f(a)) \)

Für \( x \in(b-a) \) ist \( \dfrac{x-a}{b-a} \in(0,1) \), also können wir es einfach für \( \lambda \) einsetzten, also

\(\begin{aligned} f\left(\frac{x-a}{b-a}(b-a)+a\right)-f(a) \leqslant \frac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a) \Longleftrightarrow \frac{f(x)-f(a)}{x-a} \leqslant \frac{f(b)-f(a)}{b-a} .\end{aligned} \)
Für \( b \) ist der Beweis analog.