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Hallo, ich bin momentan an einer Aufgabe und komme nicht zu einem Lösungsweg... Ich wäre dankbar, wenn wir jemand mit der Aufgabe helfen könnte!


Wir nennen eine Funktion \( f: I \rightarrow \mathbb{R} \) auf dem Intervall \( I \) konvex, falls für alle \( x_{1}, x_{2} \in I \) und \( \lambda \in(0,1) \)

\( f\left(\lambda x_{1}+(1-\lambda) x_{2}\right) \leq \lambda f\left(x_{1}\right)+(1-\lambda) f\left(x_{2}\right) \)

gilt.


Sei \( f: I \rightarrow \mathbb{R} \) auf dem Interval \( I \) konvex, und seien \( a, b \in I \) mit \( a<b \).

Zeigen Sie, dass für alle \( x \in(a, b) \) gilt:
\( \frac{f(x)-f(a)}{x-a} \leq \frac{f(b)-f(a)}{b-a} \leq \frac{f(b)-f(x)}{b-x} . \)



LG

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Wir haben
\( f(\lambda b+(1-\lambda) a) \leqslant \lambda f(b)+(1-\lambda) f(a) \Longleftrightarrow f(\lambda(b-a)+a)-f(a) \leqslant \lambda(f(b)-f(a)) \)

Für \( x \in(b-a) \) ist \( \dfrac{x-a}{b-a} \in(0,1) \), also können wir es einfach für \( \lambda \) einsetzten, also

\(\begin{aligned} f\left(\frac{x-a}{b-a}(b-a)+a\right)-f(a) \leqslant \frac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a) \Longleftrightarrow \frac{f(x)-f(a)}{x-a} \leqslant \frac{f(b)-f(a)}{b-a} .\end{aligned} \)
Für \( b \) ist der Beweis analog.

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