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Aufgabe:

Sei g ∈ C([0; 0,5],ℝ). Zeige mit Banachschem Fixpunktsatz, dass es genau ein f ∈ C([0; 0,5],ℝ) gibt mit

f(x)x00.5f(t)dt=g(x),x[0;0,5]f(x)-x \int \limits_{0}^{0.5}f(t)dt=g(x), ∀x∈[0; 0,5]

Berechne zusätzlich f in Abhänigkeit von g.


Problem/Ansatz:

Ich bin bis jetzt so weit, stecke aber nun fest, kann mir jemand sagen, wie es weiter geht?

Sei F: C([0; 0,5], ℝ) → C([0; 0,5], ℝ) eine Abbildung und F(f)=f die dazugehörende Fixpunktgleichung. Sei x0 ∈[0; 0,5], als Startwert der Folge (xn)n ,die folgende Definition hat xn+1 = F(xn). Sei f0 = 0 ∈ C([0; 0,5], ℝ)

g(x)=f(x)x00.5f(t)dt=f0x00.5tf(t)dt=(Tf)(x)g(x)=f(x)-x \int \limits_{0}^{0.5}f(t)dt = f_0-x \int \limits_{0}^{0.5}tf(t)dt= (Tf)(x)

(X, ||.||) = C([0; 0,5], ||.||) , T: x→x, (Tf)(x), x∈[0; 0,5], f↦Tf

T ist Kontraktion:

(B.F.) ∃ f∈x, Tf =f

Fixiere f0:=0, fn+1= Tfn

⇒fn → f

(Tf0)(x)=0x00.5tf0(t)dt=0.(Tf_0)(x)=0-x \int \limits_{0}^{0.5}tf_0(t)dt = 0.

Und jetzt?

Vielen Dank!

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Also unsere Funktion, deren Fixpunkt wir berechnen wollen, könnte z.B.
T(φ)(x)=g(x)+x00.5φ(t)dt \mathrm{T}(\varphi)(\mathrm{x})=\mathrm{g}(\mathrm{x})+x \int \limits_{0}^{0.5} \varphi(\mathrm{t}) \mathrm{dt}
sein, da für einen Fixpunkt f f dann gilt
T(f)(x)=f(x)g(x)+x00.5f(t)dt=f(x)\begin{aligned} T(f)(x)=f(x) \Longleftrightarrow g(x)+x \int \limits_{0}^{0.5} f(t) d t=f(x)\end{aligned}
wie gewünscht. Das Obige ist nun eine Kontraktion bezüglich der Supremumsnorm, da
T(φ)(x)T(γ)(x)=x00.5(φ(t)γ(t)) dt=supx[0,0.5]x00.5(φ(t)γ(t)) dt0.500.5(φ(t)γ(t)) dt0.500.5φ(t)γ(t) dt0.500.5supz[0,0.5]φ(t)γ(t) dt0.500.5φ(z)γ(z) dt=0.25φ(z)γ(z) \begin{aligned} \left\| T( \varphi )( x) - T( \gamma )( x)\right\|_{\infty} &= \left\| x\int_{0}^{0.5} (\varphi ( t) - \gamma ( t))\mathrm{~d}t \right\|_{\infty} \\ &= \sup_{x \in [0, 0.5]} \left| x \int_{0}^{0.5} \left( \varphi ( t) - \gamma ( t)\right)\mathrm{~d}t \right | \\ & \leqslant 0.5 \left| \int_{0}^{0.5} \left( \varphi ( t) - \gamma ( t)\right) \mathrm{~d}t \right | \\[5pt] & \leqslant 0.5 \int_{0}^{0.5} \left| \varphi ( t) - \gamma ( t)\right |\mathrm{~d}t \\ &\leqslant 0.5 \int_{0}^{0.5} \sup_{z \in [0, 0.5]} \left| \varphi ( t) - \gamma ( t)\right |\mathrm{~d}t \\ & \leqslant 0.5 \int_{0}^{0.5} \left\| \varphi ( z) - \gamma ( z)\right\|_{\infty} \mathrm{~d}t \\[5pt] &= 0.25 \left\| \varphi ( z) - \gamma ( z)\right\|_{\infty} \end{aligned}

Wichtig ist auch, dass T : C([0,0.5])C([0,0.5]) \mathrm{T}: \mathrm{C}([0,0.5]) \rightarrow \mathrm{C}([0,0.5]) ist, also in sich selbst abbildet. Schaffst du es nun alleine, f f mithilfe von g g auszudrücken?

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