Aufgabe:
Sei g ∈ C([0; 0,5],ℝ). Zeige mit Banachschem Fixpunktsatz, dass es genau ein f ∈ C([0; 0,5],ℝ) gibt mit
f(x)−x0∫0.5f(t)dt=g(x),∀x∈[0;0,5]
Berechne zusätzlich f in Abhänigkeit von g.
Problem/Ansatz:
Ich bin bis jetzt so weit, stecke aber nun fest, kann mir jemand sagen, wie es weiter geht?
Sei F: C([0; 0,5], ℝ) → C([0; 0,5], ℝ) eine Abbildung und F(f)=f die dazugehörende Fixpunktgleichung. Sei x0 ∈[0; 0,5], als Startwert der Folge (xn)n ,die folgende Definition hat xn+1 = F(xn). Sei f0 = 0 ∈ C([0; 0,5], ℝ)
g(x)=f(x)−x0∫0.5f(t)dt=f0−x0∫0.5tf(t)dt=(Tf)(x)
(X, ||.||∞) = C([0; 0,5], ||.||∞) , T: x→x, (Tf)(x), x∈[0; 0,5], f↦Tf
T ist Kontraktion:
⇒(B.F.) ∃ f∈x, Tf =f
Fixiere f0:=0, fn+1= Tfn
⇒fn → f
(Tf0)(x)=0−x0∫0.5tf0(t)dt=0.
Und jetzt?
Vielen Dank!