Aufgabe:
Berechnen Sie den Grenzwert limn→∞ \lim\limits_{n\to\infty} n→∞lim an der Folge (an)n∈N mit:an=1!⋅(n+2n−1) \begin{pmatrix} n+2\\n-1 \end{pmatrix} (n+2n−1) ⋅1n4 \frac{1}{n^4} n41 limn→∞ \lim\limits_{n\to\infty} n→∞lim an=
Was soll das 1! bedeuten?
Aloha :)
Verwende folgende Eigenschaft des Binomialkoeffizienten:(nk)=(nn−k)\quad\binom{n}{k}=\binom{n}{n-k}(kn)=(n−kn)
an=(n+2n−1)⋅1n4=(n+2(n+2)−(n−1))⋅1n4=(n+23)⋅1n4a_n=\binom{n+2}{n-1}\cdot\frac{1}{n^4}=\binom{n+2}{(n+2)-(n-1)}\cdot\frac{1}{n^4}=\binom{n+2}{3}\cdot\frac{1}{n^4}an=(n−1n+2)⋅n41=((n+2)−(n−1)n+2)⋅n41=(3n+2)⋅n41an=n+23⋅n+12⋅n1⋅1n4=16⋅n+2n⋅n+1n⋅1n\phantom{a_n}=\frac{n+2}{3}\cdot\frac{n+1}{2}\cdot\frac{n}{1}\cdot\frac{1}{n^4}=\frac16\cdot\frac{n+2}{n}\cdot\frac{n+1}{n}\cdot\frac1nan=3n+2⋅2n+1⋅1n⋅n41=61⋅nn+2⋅nn+1⋅n1an=16⋅(1+2n)⋅(1+1n)⋅1n → 16⋅1⋅1⋅0=0\phantom{a_n}=\frac16\cdot\left(1+\frac2n\right)\cdot\left(1+\frac1n\right)\cdot\frac 1n\;\to\;\frac16\cdot1\cdot1\cdot0=0an=61⋅(1+n2)⋅(1+n1)⋅n1→61⋅1⋅1⋅0=0
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