Gleichungen können durch Äquivalenz-Umformungen gelöst werden. Das sind Umformungen, die den Wahrheitswert der Gleichung und damit ihre Lösungsmenge unverändert lassen. Dabei sind eine Reihe von Aktionen erlaubt, sofern sie auf beiden Seiten des Gleichheitszeichens gleich ausgeführt werden. Das Ziel ist dabei, die Gleichung so weit zu vereinfachen, dass die Lösungen direkt abgelesen werden können oder die Gleichung zumindest auf eine Standardform gebracht wird, aus der die Lösungen mit einer Formel oder einem numerischen Verfahren bestimmt werden können. Beispielsweise kann jede Gleichung so umgeformt werden, dass auf einer Seite eine Null steht, sodass anschließend ein Verfahren zum Bestimmen von Nullstellen angewendet werden kann, womit dann auch die Ausgangsgleichung gelöst würde.Umformungen kann man sich gut am Modell einer Waage vorstellen, die sich im Gleichgewicht befindet, und auf der die Größen einer Gleichung durch Gewichte repräsentiert werden (das Modell hat natürlich Grenzen und versagt z. B. bei negativen Zahlen). Äquivalenz-Umformungen entsprechen solchen Operationen, die die Waage nicht aus dem Gleichgewicht bringen.
(c) https://de.wikipedia.org/wiki/L%C3%B6sen_von_Gleichungen
a * b = c | : a
(a * b) / a = c / a
b = c / a
a / b = c | * b
a / b * b = c * b
a = c * b
Man wendet immer genau die Äquivalenzumformungen an, die dafür sorgen, das die gesuchte Variable alleine auf einer Seite steht. Das heißt das sich immer gegenteilige Rechenoperationen auf einer Seite aufheben.
Wird auf einer Seite zu unseren Variablen etwas addiert, lösen wir es auf indem wir subtrahieren:
x + a = b
x + a - a = b - a
x = b - a
Wird auf einer Seite von unserer Variablen etwas subtrahiert, lösen wir es auf indem wir addieren:
x - a = b
x - a + a = b + a
x = b + a
Wird auf einer Seite unsere Variable multipliziert, lösen wir es auf indem wir dividieren:
x * a = b
x * a / a = b / a
x = b / a
Wird auf einer Seite unsere Variable durch etwas dividiert, lösen wir es auf indem wir multiplizieren:
x / a = b
x / a * a = b * a
x = b * a
Bei der Addition und Multiplikation gilt das Kommutativgesetzt (Vertauschungsgesetzt). D.h. wir dürfen vorher unsere Summanden bzw. Faktoren vertauschen.
a + x = b
x + a = b
x + a - a = b - a
x = b - a
Das Kommutativgesetzt gilt bei der Subtraktion und Division nicht! Hier müssen wir also beim Auflösen besonders sofgfältig sein
x - a = b
x - a + a = b + a
x = b + a
a - x = b
a - x + x = b + x
a = x + b
a - b = x + b - b
a - b = x
Ich hoffe du hast das so verstanden.
