0 Daumen
880 Aufrufe

Aufgabe:

Sei g : R \ {0} -> R eine stetige, beschränkte Funktion. Sei F : R -> R  definiert durch f(x) = xg/(x) für x ungleich 0 und 0 für x =0

Beweisen Sie, dass f für alle x stetig ist.



Problem/Ansatz:

Mein Ansatz, wäre da das Produkt stetiger Funktionen auch stetig ist, die Funktion f(x) = x auch stetig ist, genügt es zu zeigen das f(x) = x an der der Stelle 0 stetig ist. Kann man das so machen ?

Avatar von

Wie lautet die Funktion ?

f ( x ) = x

f ( 0 ) = 0

Also f(x) = xg(x)


wobei g eine stetige beschränkte Funktion ist.

Ich schließe daraus das der Faktor x die Identität ist.

f stetig für x0 x \neq 0 ist klar, dort ist f einfach ein Produkt von stetigen Funktionen.

Sei g(x)B |g(x)| \le B für alle xx. Und ε>0 \varepsilon > 0

Du musst jetzt ein δ>0 \delta > 0 finden, s.d. für alle x mit x0<δ |x-0|<\delta bereits

xg(x)0=xg(x)<ε |xg(x)-0|=|x|\cdot |g(x)| < \varepsilon

gilt. Eigentlich ist ziemlich offensichtlich, welches δ \delta man hier nehmen kann (Es darf von ε \varepsilon und B B abhängen)

Also da |x| < delta ergibt sich dann delta * g(x) < epsilon und da g(x) < B gelten soll denke ich das delta * B < epsilon, also delta < epsilon/B


Ist das richtig ?

Ja, so ähnlich. Du kannst sogar δ : =εB \delta := \frac{\varepsilon}{B} setzen. Dann gilt

x0<δ    f(x)f(0)<ε |x - 0| < \delta \implies |f(x) - f(0)| < \varepsilon

Also ist f f stetig in 0.

Training für dich:

Überlege dir mal wie du mit dem Folgenkriterium argumentieren kannst:

Nimm eine Nullfolge xn0 x_n \to 0 und begründe warum f(xn)0 |f(x_n)| \to 0 . Warum folgt dann auch f(xn)0 f(x_n) \to 0 ?

Hier hilft: https://de.wikipedia.org/wiki/Einschn%C3%BCrungssatz

Danke für deine Hilfe, das epsilon delta kriterium ist halt für mich nicht so einfach

Ein anderes Problem?

Stell deine Frage