Kann man so die Stetigkeit beweisen?

Question

Aufgabe:

Sei g : R \ {0} -> R eine stetige, beschränkte Funktion. Sei F : R -> R  definiert durch f(x) = xg/(x) für x ungleich 0 und 0 für x =0

Beweisen Sie, dass f für alle x stetig ist.

Problem/Ansatz:

Mein Ansatz, wäre da das Produkt stetiger Funktionen auch stetig ist, die Funktion f(x) = x auch stetig ist, genügt es zu zeigen das f(x) = x an der der Stelle 0 stetig ist. Kann man das so machen ?

Comments

Wie lautet die Funktion ?

f ( x ) = x

f ( 0 ) = 0

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Also f(x) = xg(x)

wobei g eine stetige beschränkte Funktion ist.

Ich schließe daraus das der Faktor x die Identität ist.

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f stetig für $x \neq 0$ ist klar, dort ist f einfach ein Produkt von stetigen Funktionen.

Sei $|g(x)| \le B$ für alle $x$. Und $\varepsilon > 0$

Du musst jetzt ein $\delta > 0$ finden, s.d. für alle x mit $|x-0|<\delta$ bereits

$|xg(x)-0|=|x|\cdot |g(x)| < \varepsilon$

gilt. Eigentlich ist ziemlich offensichtlich, welches $\delta$ man hier nehmen kann (Es darf von $\varepsilon$ und $B$ abhängen)

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Also da |x| < delta ergibt sich dann delta * g(x) < epsilon und da g(x) < B gelten soll denke ich das delta * B < epsilon, also delta < epsilon/B

Ist das richtig ?

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Ja, so ähnlich. Du kannst sogar $\delta := \frac{\varepsilon}{B}$ setzen. Dann gilt

$$|x - 0| < \delta \implies |f(x) - f(0)| < \varepsilon$$

Also ist $f$ stetig in 0.

Training für dich:

Überlege dir mal wie du mit dem Folgenkriterium argumentieren kannst:

Nimm eine Nullfolge $x_n \to 0$ und begründe warum $|f(x_n)| \to 0$. Warum folgt dann auch $f(x_n) \to 0$?

Hier hilft: https://de.wikipedia.org/wiki/Einschn%C3%BCrungssatz

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Danke für deine Hilfe, das epsilon delta kriterium ist halt für mich nicht so einfach