Kann man so die Stetigkeit beweisen?

Question

Aufgabe:

Sei g : R \ {0} -> R eine stetige, beschränkte Funktion. Sei F : R -> R  definiert durch f(x) = xg/(x) für x ungleich 0 und 0 für x =0

Beweisen Sie, dass f für alle x stetig ist.

Problem/Ansatz:

Mein Ansatz, wäre da das Produkt stetiger Funktionen auch stetig ist, die Funktion f(x) = x auch stetig ist, genügt es zu zeigen das f(x) = x an der der Stelle 0 stetig ist. Kann man das so machen ?

Comments

Wie lautet die Funktion ?

f ( x ) = x

f ( 0 ) = 0

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Also f(x) = xg(x)

wobei g eine stetige beschränkte Funktion ist.

Ich schließe daraus das der Faktor x die Identität ist.

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f stetig für \( x \neq 0 \) ist klar, dort ist f einfach ein Produkt von stetigen Funktionen.

Sei \( |g(x)| \le B \) für alle \(x\). Und \( \varepsilon > 0 \)

Du musst jetzt ein \( \delta > 0 \) finden, s.d. für alle x mit \( |x-0|<\delta\) bereits

\( |xg(x)-0|=|x|\cdot |g(x)| < \varepsilon \)

gilt. Eigentlich ist ziemlich offensichtlich, welches \( \delta \) man hier nehmen kann (Es darf von \( \varepsilon \) und \( B \) abhängen)

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Also da |x| < delta ergibt sich dann delta * g(x) < epsilon und da g(x) < B gelten soll denke ich das delta * B < epsilon, also delta < epsilon/B

Ist das richtig ?

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Ja, so ähnlich. Du kannst sogar \( \delta := \frac{\varepsilon}{B} \) setzen. Dann gilt

$$ |x - 0| < \delta \implies |f(x) - f(0)| < \varepsilon $$

Also ist \( f \) stetig in 0.

Training für dich:

Überlege dir mal wie du mit dem Folgenkriterium argumentieren kannst:

Nimm eine Nullfolge \( x_n \to 0 \) und begründe warum \( |f(x_n)| \to 0 \). Warum folgt dann auch \( f(x_n) \to 0 \)?

Hier hilft: https://de.wikipedia.org/wiki/Einschn%C3%BCrungssatz

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Danke für deine Hilfe, das epsilon delta kriterium ist halt für mich nicht so einfach