Orthogonale Zerlegung und Determinante in zwei Dimensionen

Question

Text erkannt:

Es sei ein Vektor $\boldsymbol{a}=\left(\begin{array}{l}a_{1} \\ a_{2}\end{array}\right) \neq \mathbf{0}$ gegeben.
(i) Zeigen Sie, dass das orthogonale Komplement zum Unterraum $\mathbb{R} \boldsymbol{a}$ in $\mathbb{R}^{2}$ der Unterraum $\mathbb{R} \boldsymbol{n}$ ist, wobei $\boldsymbol{n}=\left(\begin{array}{c}-a_{2} \\ a_{1}\end{array}\right)$.
Tipp: Zeigen Sie die Inklusion $\mathbb{R} \boldsymbol{n} \subset(\mathbb{R} \boldsymbol{a})^{\perp}$ und argumentieren Sie dann mit Satz 1.1.11.
(ii) Bestimmen Sie für beliebiges $\boldsymbol{b}=\left(\begin{array}{l}b_{1} \\ b_{2}\end{array}\right) \in \mathbb{R}^{2}$ dessen Zerlegung $\boldsymbol{b}=\boldsymbol{b}_{\|}+\boldsymbol{b}_{\perp}$ mit $\boldsymbol{b}_{\|} \in \mathbb{R} \boldsymbol{a}$ und $\boldsymbol{b}_{\perp} \in(\mathbb{R} \boldsymbol{a})^{\perp} .$

Tipp: Schreiben Sie mit (i) $\boldsymbol{b}=\alpha \boldsymbol{a}+\beta \boldsymbol{n}$ für eindeutige $\alpha, \beta \in \mathbb{R}$ und bilden Sie dann das Skalarprodukt auf beiden Seiten einmal mit $\boldsymbol{a}$ und einmal mit $\boldsymbol{n}$, um $\alpha$ und $\beta$ zu bestimmen. Erkennen Sie dabei die Formel für die Determinante in $2 D$.
(iii) Erklären Sie mit einem Bild, warum der Flächeninhalt des durch $\boldsymbol{a}$ und $\boldsymbol{b}$ aufgespannten Parallelogramms gleich dem Flächeninhalt des durch $\boldsymbol{a}$ und $\boldsymbol{b}_{\perp}$ aufgespannten Rechtecks ist.
(iv) Zeigen Sie, dass $|\operatorname{det}(\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b})|$ der Flächeninhalt des durch $\boldsymbol{a}$ und $\boldsymbol{b}$ aufgespannten Parallelogramms ist.

Aufgabe: Orthogonale Zerlegung und Determinante in zwei Dimensionen

Problem/Ansatz:

Könnte mir hier jemand weiterhelfen?

Danke :)

Answer 1

Zeigen Sie die Inklusion $\mathbb{R} \boldsymbol{n} \subset(\mathbb{R} \boldsymbol{a})^{\perp}$ und argumentieren Sie dann mit Satz 1.1.11.

Nachweis der Inklusion:

Sei $\vec{x} \in \mathbb{R} \boldsymbol{n}$

Dann gibt es ein s∈ℝ mit $\vec{x} = s \cdot \vec{n}= s \cdot \left(\begin{array}{c}-a_{2} \\ a_{1}\end{array}\right)$

$= \left(\begin{array}{c}-a_{2}s \\ a_{1}s\end{array}\right)$

Dann ist das Skalarprodukt von $\vec{x}$ und jedem Vielfachen von $\vec{a}$

gleich 0, also $\vec{x} \in (\mathbb{R} \boldsymbol{a})^{\perp}$.

Den Satz 1.1.11 kenne ich nicht.