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Text erkannt:

Es sei ein Vektor a=(a1a2)0 \boldsymbol{a}=\left(\begin{array}{l}a_{1} \\ a_{2}\end{array}\right) \neq \mathbf{0} gegeben.
(i) Zeigen Sie, dass das orthogonale Komplement zum Unterraum Ra \mathbb{R} \boldsymbol{a} in R2 \mathbb{R}^{2} der Unterraum Rn \mathbb{R} \boldsymbol{n} ist, wobei n=(a2a1) \boldsymbol{n}=\left(\begin{array}{c}-a_{2} \\ a_{1}\end{array}\right) .
Tipp: Zeigen Sie die Inklusion Rn(Ra) \mathbb{R} \boldsymbol{n} \subset(\mathbb{R} \boldsymbol{a})^{\perp} und argumentieren Sie dann mit Satz 1.1.11.
(ii) Bestimmen Sie für beliebiges b=(b1b2)R2 \boldsymbol{b}=\left(\begin{array}{l}b_{1} \\ b_{2}\end{array}\right) \in \mathbb{R}^{2} dessen Zerlegung b=b+b \boldsymbol{b}=\boldsymbol{b}_{\|}+\boldsymbol{b}_{\perp} mit bRa \boldsymbol{b}_{\|} \in \mathbb{R} \boldsymbol{a} und b(Ra). \boldsymbol{b}_{\perp} \in(\mathbb{R} \boldsymbol{a})^{\perp} .

Tipp: Schreiben Sie mit (i) b=αa+βn \boldsymbol{b}=\alpha \boldsymbol{a}+\beta \boldsymbol{n} für eindeutige α,βR \alpha, \beta \in \mathbb{R} und bilden Sie dann das Skalarprodukt auf beiden Seiten einmal mit a \boldsymbol{a} und einmal mit n \boldsymbol{n} , um α \alpha und β \beta zu bestimmen. Erkennen Sie dabei die Formel für die Determinante in 2D 2 D .
(iii) Erklären Sie mit einem Bild, warum der Flächeninhalt des durch a \boldsymbol{a} und b \boldsymbol{b} aufgespannten Parallelogramms gleich dem Flächeninhalt des durch a \boldsymbol{a} und b \boldsymbol{b}_{\perp} aufgespannten Rechtecks ist.
(iv) Zeigen Sie, dass det(a,b) |\operatorname{det}(\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b})| der Flächeninhalt des durch a \boldsymbol{a} und b \boldsymbol{b} aufgespannten Parallelogramms ist.

Aufgabe: Orthogonale Zerlegung und Determinante in zwei Dimensionen


Problem/Ansatz:

Könnte mir hier jemand weiterhelfen?

Danke :)

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Zeigen Sie die Inklusion Rn(Ra) \mathbb{R} \boldsymbol{n} \subset(\mathbb{R} \boldsymbol{a})^{\perp} und argumentieren Sie dann mit Satz 1.1.11.

Nachweis der Inklusion:

Sei xRn \vec{x} \in \mathbb{R} \boldsymbol{n}

Dann gibt es ein s∈ℝ mit x=sn=s(a2a1) \vec{x} = s \cdot \vec{n}= s \cdot \left(\begin{array}{c}-a_{2} \\ a_{1}\end{array}\right)

=(a2sa1s) = \left(\begin{array}{c}-a_{2}s \\ a_{1}s\end{array}\right)

Dann ist das Skalarprodukt von x \vec{x} und jedem Vielfachen von a \vec{a}

gleich 0, also x(Ra) \vec{x} \in (\mathbb{R} \boldsymbol{a})^{\perp} .

Den Satz 1.1.11 kenne ich nicht.

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