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Aufgabe:

Gegeben ist eine Kurve \(\gamma[t_P,t_Q]\) mit den Endpunkten \(P=\gamma(t_P)\) und \(Q=\gamma(t_Q)\). Die Kurve kann auch als \(r=r(\phi), \phi_P\leq\phi\leq\phi_Q\) geschrieben werden.

Nun soll die Gleichheit der Integrale für den Flächeninhalt zwischen P und Q gezeigt werden: $$A=1/2\int_{P}^{Q} xdy -ydx=1/2\int_{t_P}^{t_Q} x\dot y -y\dot x\ dt=1/2\int_{phi_P}^{\phi_Q} r(\phi)^2d\phi$$

Problem/Ansatz:

Mein Ansatz wäre mir dem rechten Integral zu starten:
$$\int_{\phi_P}^{\phi_Q}\int_{0}^{r(\phi)} dA=\int_{\phi_P}^{\phi_Q}\int_{0}^{r(\phi)}r\ dr d\phi=1/2\int_{\phi_P}^{\phi_Q}r(\phi)^2 d\phi$$
Brauche ich jetzt eine bestimmte Parametrisierung für r um die das Integral umformen zu können? Normalerweise nutzt man ja \(r(\phi)=(r\cos(\phi),r\sin(\phi))\) und \(r=x^2+y^2\) aber ich weiß nicht wie ich das in diese Form bringen kann \( x\dot y -y\dot x\ \).

von

Hallo

"Nun soll die Gleichheit der Integrale für den Flächeninhalt zwischen P und Q gezeigt werden" : Das ist unklar,  die letzte Formel sagt, es wird die Fläche die von γ(t) zwischen der Strecke OP und OQ liegt.

Ist das damit gemeint?

Man kann den Satz von Stokes \( \int\limits_{M} dω} =\int\limits_{δM}ω verwenden

mit mit ω=1/2 (xdy-ydx) dω=1/2(dx∧dy-dy∧dx)=dx∧dy

lul

die Umformung dann dx=x'dt

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