Zeigen Sie, dass Ux∈K Kε(x) kompakt ist.

Question

Aufgabe:

Es sei K ⊂ ℝ^d, d ∈ ℕ kompakt und ε > 0. Zeigen Sie, dass U_x∈K K_ε(x) kompakt ist.

Answer 1

Ich führe als Alternative zu Dojima den Abgeschlossenheitsbeweis für $A$ so:

Die Abbildung $x\mapsto d(y,x)$ ist für $y\notin A$ stetig, nimmt also

wegen der Kompaktheit ihr Minimum $m$ auf $K$ an. Wegen

$d(y,x)\gt \epsilon \; \forall x\in K$ ist dann $m\gt \epsilon$.

Setzt man nun $\delta=(m-\epsilon)/2$, dann gilt $B_{\delta}(y)\subseteq \mathbb{R}^d\backslash A$,

d.h. das Komplement von $A$ ist offen.

Answer 2

Hallo,

ich denke mal $K_\varepsilon(x)$ sollen die abgeschlossenen Kugeln vom Radius $\varepsilon$ um $x$ sein? (es ist aber ganz gut das bei solchen Fragen mit anzugeben).

Sei $A:=\bigcup_{x\in K}K_\varepsilon(x)$. Wir wollen nun den Satz von Heine.Borel nutzen. Es ist also z.z., dass $A$ abgeschlossen und beschränkt ist.
Da $K$ beschränkt ist sieht man relativ leicht, dass auch $A$ beschränkt sein muss.

Zur Abgeschlossenheit: Sei $(x_n)_n$ eine Folge in $A$, die gegen ein $x\in\mathbb R^n$ konvergiert. Dann existiert eine Folge $(k_n)_n$ in $K$ sodass $x_n\in K_\varepsilon(k_n)$. Da $K$ kompakt ist, gibt es eine Teilfolge $(k_{n_l})_l$ und ein $k\in K$ mit $x_{n_l}\to k$. Dann gilt für alle $l\in\mathbb N$: $$|x-k|\leq|x-x_{n_l}|+|x_{n_l}-k_{n_l}|+|k_{n_l}-k|\leq|x-k|\leq|x-x_{n_l}|+\varepsilon+|k_{n_l}-k|$$
Und damit $|x-k|\leq\varepsilon$ (für $l\to\infty$), also $x\in A$.

LG Dojima