zweimal differenzierbare Funktion: Taylor-Entwicklung beweisen

Question

Aufgabe:

Sei I ein offenes Intervall und f: I -> R eine zweimal differenzierbare Funktion.

Wir definieren den zentralen Differenzenquotienten zweiter Ordnung durch
$f_{h}^{(2)}(x):=\frac{f(x+h)-2 f(x)+f(x-h)}{h^{2}}$

a) Zeigen Sie, dass für jedes $x \in \mathcal{I}$ gilt:
$f^{\prime \prime}(x)=f_{h}^{(2)}(x)+o(1)$
Hinweis: Untersuchen Sie die Taylorentwicklung in den Punkten $(x+h),(x-h)$.

b) Folgern Sie aus (a), dass $f^{\prime \prime}(x)=\lim \limits_{h \rightarrow 0} f_{h}^{(2)}(x)$.

Sei $f$ im Folgenden zusätzlich konvex.

c) Zeigen Sie, dass $f_{h}^{(2)}(x) \geq 0$ für alle $x \in \mathcal{I}$ gilt.

d) Folgern Sie, dass $f^{\prime \prime}(x) \geq 0$ für alle $x \in \mathcal{I}$ gilt. Hinweis: Nutzen Sie die Darstellung der Konvexität des letzten Übungsblattes.

Problem/Ansatz:

Comments

Nutzen Sie die Darstellung der Konvexität des letzten Übungsblattes.

Die Darstellung der Konvexität des letzten Übungsblattes fehlt.

Answer 1

Die Taylorentwicklung von $f(x+h)$ lautet

$$f(x+h) = f(x) + f'(x) h + \frac{1}{2}f''(x) h^2 + O(h^3)$$ entsprechend

$$f(x-h) = f(x) - f'(x) h + \frac{1}{2}f''(x) h^2 + O(h^3)$$

Also

$$f_h^{(2)}(x) = f''(x) + O(h)$$ und deshalb

$$\lim_{h \to 0} f_h^{(2)}(x) = f''(x)$$

Für den Rest musst Du erstmal hinschreiben, wie Ihr konvex definiert habt.