Entwicklung einer Funktion (Taylor-Polynom)

Question

Berechne einen Näherungswert für $$\sqrt [ 5 ]{ \frac { 5 }{ 4 }  } $$ durch Entwicklung der Funktion $$f(x)=(1+x)^{ \frac { 1 }{ 5 }  }$$

in ein Taylor-Polynom 4. Grades um $${ x }_{ 0 }=0$$.

Schätze den maximalen Fehler für diesen Näherungswert ab.

Comments

-es heißt 5.Wurzel, falls es nicht lesbar ist.

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Wo ist dein Ansatz?

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$$1)\quad f\left( x \right) =\left( 1+x \right) ^{ \frac { 1 }{ 5 }  }=\sqrt [ 5 ]{ x+1 } \quad ;sei\quad { x }_{ 0 }=0\quad \\ f^{ I }\left( x \right) =\frac { 1 }{ 5(x+1)^{ \frac { 4 }{ 5 }  } } \\ f^{ II }\left( x \right) =-\frac { 4 }{ 25(x+1)^{ \frac { 9 }{ 5 }  } } \\ f^{ III }\left( x \right) =\frac { 36 }{ 125(x-+1)^{ \frac { 14 }{ 5 }  } } \\ f^{ IV }\left( x \right) =-\frac { 504 }{ 625(x+1)^{ \frac { 19 }{ 5 }  } } \\ \\ \\ f(0)=1,\quad f^{ I }(0)=\frac { 1 }{ 5 } ,\quad f^{ II }\left( x \right) =-\frac { 4 }{ 25 } ,\quad f^{ III }\left( x \right) =\frac { 36 }{ 125 } ,\quad f^{ IV }(0)=-\frac { 504 }{ 625 } \\ f\left( x \right) =\left( 1+x \right) ^{ \frac { 1 }{ 5 }  }\approx \sum _{ k=0 }^{ 4 }{ Taylor-Formel=\quad -\frac { 21 }{ 625 }  } { x }^{ 4 }+\frac { 6 }{ 125 } { x }^{ 3 }-\frac { 2 }{ 25 } x^{ 2 }+\frac { 1 }{ 5 } x+1\quad ={ T }_{ 4 }(x);\quad mit\quad { x }_{ 0 }=0.\\ \\ \\ 2)\quad \Delta _{ Fehler }=\quad { T }_{ 4 }\left( \sqrt [ 5 ]{ \frac { 5 }{ 4 }  }  \right) -\left( \sqrt [ 5 ]{ \frac { 5 }{ 4 }  }  \right) \approx \quad 1,136368746-1,045639553\approx 0,090729193\quad als\quad Genauigkeit oder max. Fehler?!$$

bitte drüber sehen !

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:-)

1) OK

2) (5/4)^{1/5}  =  (4/4+1/4)^{1/5} =  (1+1/4)^{1/5} d.h. setze x=1/4 in die Taylor-Formel ein:
1 + 1/5×1/4 - 2/25×(1/4)^2 + 6/125×(1/4)^3 - 21/625×(1/4)^4 = 1,04561875

Restgliedabschätzung nach Lagrange:
Ist |f^{n+1}(x)| ≤ K dann folgt |R_n,a(x)| <= K/(n+1)! * |x-a|^{n+1}
wobei a der Entwicklungspunkt ist.

f^5(0) = 9576/(3125*(1)^{24/5}) = 3,06432 = K
|R_n,a(1/4)| <= 3,06432/(4+1)! * |1/4-0|^{4+1} = 0.0000249375
Der maximale Fehler ist <= 0.0000249375

Kontrolle:  (5/4)^{1/5} - 1,04561875 = 0,0000208025 < 0.0000249375 -> OK

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Vielen dank, wenn Sie mir helfen wollen können sie  auch über meine anderen Ansätze schauen ?

Answer 1

T(x) = f(0) + f ' (0) * x   + f ' ' (0) * x²  + f ' ' ' (0) * x³  + f ' ' '  ' (0) * x⁴ 

hier ist   f(0) = 1

 f ' (x) = (1/5) * (x+1)^-4/5    also f ' (0) =  1/5


f ' ' (x) = (-4/25) * (x+1)^-9/5    also f ' (0) =  -4/25

f ' ' ' (x) = (36/125) * (x+1)^-14/5    also f ' (0) =  36/125

f ' ' ' ' (x) = (-504/625) * (x+1)^-19/5    also f ' (0) =  -504/625

setzt du alles ein und :   Fertig!