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Aufgabe 4)

a)

i. Seien e0,e1,e2,e3C e_{0}, e_{1}, e_{2}, e_{3} \in \mathbb{C} .

Bestimmen Sie das charakteristische Polynom χE(λ) \chi_{E}(\lambda) der Matrix


E : =(000e0100e1010e2001e3)C4,4 E:=\left(\begin{array}{cccc} 0 & 0 & 0 & -e_{0} \\ 1 & 0 & 0 & -e_{1} \\ 0 & 1 & 0 & -e_{2} \\ 0 & 0 & 1 & -e_{3} \end{array}\right) \in \mathbb{C}^{4,4}

Wichtig! : Die Eigenwerte müssen Sie nicht bestimmen.

ii. Seien nun e1=e2=e3=1 e_{1}=e_{2}=e_{3}=1 und e0=0 e_{0}=0 .

Berechnen Sie die zugehörigen Eigenwerte der Matrix E E .


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χE(λ)=det(EE4λ) \chi_{E}(\lambda) = det(E-E_4*\lambda )     mit Einheitsmatrix E4 .

Gibt χE(λ)=λ4+e3λ3+e2λ2+e1λ+e0 \chi_{E}(\lambda) = \lambda^4+e_3 \lambda^3+e_2 \lambda^2+e_1 \lambda+e_0

ii) Dann ist es ja χE(λ)=λ4+λ3+λ2+λ \chi_{E}(\lambda) = \lambda^4+ \lambda^3+ \lambda^2+\lambda

=λ(λ+1)(λ2+1) = \lambda \cdot(\lambda+1) \cdot(\lambda^2+1)

Eigenwerte also 0 , -1 , i und -i .

Avatar von 289 k 🚀

Dankeschön ich habe es verstanden. Ich bekomme jedoch bei der Rechnung ein extra λ zu viel. Ich weiß nicht wo mein Fehler ist. Könnten Sie, wenn Sie so nett wären, mir Ihren Rechenweg einmal zeigen. Danke im voraus.

Determinante von

(λ00e01λ0e101λe2001e3λ)\left(\begin{array}{cccc} -\lambda & 0 & 0 & -e_{0} \\ 1 & -\lambda & 0 & -e_{1} \\ 0 & 1 & -\lambda & -e_{2} \\ 0 & 0 & 1 & -e_{3}-\lambda \end{array}\right)

nach der 1. Spalte entwickeln:

λ(λ0e11λe201e3λ) -\lambda \left(\begin{array}{cccc} -\lambda & 0 & -e_{1} \\ 1 & -\lambda & -e_{2} \\ 0 & 1 & -e_{3} -\lambda \end{array}\right) 1(00e01λe201e3λ)-1 \left(\begin{array}{cccc} 0 & 0 & -e_{0} \\ 1 & -\lambda & -e_{2} \\ 0 & 1 & -e_{3}-\lambda \end{array}\right)

Dann die 3er mit der Regel von Sarrus.

Ich danke Ihnen !

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