Hallo,
Muss ich das mit Doppelintegralen machen?
Da sind ein Rechteck und ein Dreieck. Dafür brauchst Du die Integralrechnung nicht zu bemühen!
Teile das Trapez an der Geraden \(y=4m\) in ein Rechteck und ein Dreieck. Sowie hier gezeigt (die gestrichelte horizontale Linie)
(den Punkt rechts bei \(4m\) kann man vertikal verschieben)
Berechne nun die Fläche \(A_1\) des Rechtecks und die Fläche \(A_2\) des Dreiecks, sowie die Schwerpunkte \(S_1\) und \(S_2\) von Rechteck und Dreieck. Hinweis:$$S_1= \begin{pmatrix} (-3 + 4)/2\\ (4m + 2)/2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0,5\\ 2m+1\end{pmatrix}\\ S_2 = \begin{pmatrix} -3 + (4-(-3))/3\\ 4m - (4m-(-3m))/3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2/3\\ 5m/3\end{pmatrix}$$Der Gesamtschwerpunkt des Trapez liegt dann bei$$S_0 = \frac{A_1S_1 +A_2S_2}{A_1+A_2}$$Um das gesuchte \(m\) zu berechnen, setze die X-Koordinate des Gesamtschwerpunkts zu 0.
Lösung: \(m(x_s=0) = 3/13\).
Falls Du noch Fragen hast, so melde Dich bitte.
Wenn's dann doch mit Integralrechnung sein muss:$$\begin{aligned} \int\limits_{x=-3}^{4}x(2-mx)\,\text dx &= 0 \\ \left.x^2- \frac13 mx^3\right|_{x=-3}^4 &= 0 \\ 16-\frac 13 \cdot 64m - \left(9 + 9m\right) &= 0 \\ 7 - 91m&= 0 \\ m &=\frac 3{13} \end{aligned}$$Gruß Werner
