Äquivalenz zeigen: zrk(A) ≤ 1 ⇔ srk(A) ≤ 1 ⇔ Es existieren x, y ∈ K^n, so dass A = x · yT .

Question

Aufgabe:

Sei A ∈ M_n×n(K). Zeigen Sie, dass folgende Aussagen äquivalent sind:
(a) zrk(A) ≤ 1
(b) srk(A) ≤ 1
(c) Es existieren x, y ∈ Kⁿ, so dass A = x · y^T .

Problem/Ansatz:

Ich weiß, dass man hier mit Ringschluss vorgehen kann, also a⇒b⇒c⇒a
Von a⇒b bin so vorgegangen:
Wenn A ∈ M_n×n(K) und der Zeilenrang die Maximalzahl der linear unabhängigen Zeilenvektoren ist und der Spaltenrang die Maximalzahl der linear unabhängigen Spaltenvektoren ist, dann muss dimSR(A) = dimZR(A) sein und dementsprechend
zrk(A) ≤ 1 ⇒ srk(A) ≤ 1
Zu b⇒c:
Sei srk(A) ≤  1 und seien x,y beliebige Zeilenvektoren. Dann lässt sich jeder Spaltenvektor oder jeder außer einer von A durch x*y^T konstruieren. Demnach lässt sich A als A = x*y^T formulieren.
Bei c⇒a habe ich keine Idee wie ich fortfahren kann.

Wäre für Hilfe dankbar.

Comments

Zu c⇒a ist mir noch folgendes eingefallen:
Wenn x,y ∈K^n mit A = x*y^T, dann kann dies auch bedeuten, dass x und y so gewählt sein könnten, sodass alle, bzw. alle bis auf einen Zeilenvektor linear unabhängig sind. Demnach ist zrk(x*y^T = A) = dimSR(x*y^T=A) ≤ 1